Номер 12.19, страница 51 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.19. Выполните умножение двучленов:

а) $(-x + y)(x + y)$;

б) $(x + y)(-y + x)$;

в) $(x - y)(-x - y)$;

г) $(-x - y)(y - x)$.

а) Чтобы выполнить умножение $(-x + y)(x + y)$, удобно поменять местами слагаемые в первой скобке. Выражение примет вид:
$(-x + y)(x + y) = (y - x)(y + x)$
Это является формулой разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a=y$ и $b=x$.
$(y - x)(y + x) = y^2 - x^2$
Ответ: $y^2 - x^2$

б) Чтобы выполнить умножение $(x + y)(-y + x)$, поменяем местами слагаемые во второй скобке:
$(x + y)(-y + x) = (x + y)(x - y)$
Это формула разности квадратов: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=y$.
$(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$
Ответ: $x^2 - y^2$

в) В выражении $(x - y)(-x - y)$ вынесем $-1$ за скобки во втором множителе:
$(x - y)(-x - y) = (x - y) \cdot (-1) \cdot (x + y) = -(x - y)(x + y)$
Применяем формулу разности квадратов для выражения в скобках: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Получаем: $-(x^2 - y^2) = -x^2 + y^2 = y^2 - x^2$
Ответ: $y^2 - x^2$

г) В выражении $(-x - y)(y - x)$ можно вынести знак минус из каждой скобки.
Из первой скобки: $-x - y = -(x + y)$.
Из второй скобки: $y - x = -(x - y)$.
Тогда произведение будет:
$(-(x + y)) \cdot (-(x - y)) = (-1) \cdot (x + y) \cdot (-1) \cdot (x - y)$
Так как $(-1) \cdot (-1) = 1$, выражение упрощается до:
$(x + y)(x - y)$
Это формула разности квадратов, которая равна $x^2 - y^2$.
Ответ: $x^2 - y^2$