Номер 12.17, страница 50 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.17. Замените * одночленами так, чтобы полученное равенство стало тождеством:

а) $(3b + *)(3b - *) = 9b^2 - 16;$

б) $(* - 2m)(* + 2m) = 25p^2 - *;$

в) $(* - 10x^2)(10x^2 + *) = 1 - *.$

а) $(3b + *)(3b - *) = 9b^2 - 16$

Данное равенство является тождеством, основанным на формуле разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

В левой части равенства первый член в скобках — это $3b$. В правой части мы видим $9b^2$, что является квадратом $3b$, так как $(3b)^2 = 9b^2$. Следовательно, в формуле a соответствует $3b$.

Второй член в правой части равенства — это 16. Это квадрат одночлена, который скрыт за символом *. Обозначим этот одночлен как x. Тогда $x^2 = 16$.

Отсюда находим, что одночлен $x=4$.

Таким образом, каждую звездочку * в левой части нужно заменить на 4.

Проверим полученное тождество: $(3b+4)(3b-4) = (3b)^2 - 4^2 = 9b^2 - 16$. Равенство верно.

Ответ: $(3b+4)(3b-4)=9b^2-16$.

б) $(* - 2m)(* + 2m) = 25p^2 - *$

Это также формула разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В левой части равенства второй член в скобках — это $2m$. Его квадрат равен $(2m)^2 = 4m^2$. По формуле, это вычитаемое в правой части. Значит, звездочку * в правой части нужно заменить на $4m^2$.

Первый член в правой части — это $25p^2$. Это квадрат первого члена в скобках слева. Обозначим этот член (первую звездочку *) как a. Тогда $a^2 = 25p^2$.

Отсюда находим, что $a = \sqrt{25p^2} = 5p$.

Таким образом, звездочку * в левой части нужно заменить на $5p$, а в правой — на $4m^2$.

Проверим полученное тождество: $(5p - 2m)(5p + 2m) = (5p)^2 - (2m)^2 = 25p^2 - 4m^2$. Равенство верно.

Ответ: $(5p-2m)(5p+2m)=25p^2-4m^2$.

в) $(* - 10x^2)(10x^2 + *) = 1 - *$

Левую часть можно записать в виде $(* - 10x^2)(* + 10x^2)$, поменяв местами слагаемые во второй скобке. Это соответствует формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В левой части второй член — это $10x^2$. Его квадрат равен $(10x^2)^2 = 10^2 \cdot (x^2)^2 = 100x^4$. Это будет вычитаемым в правой части тождества. Значит, звездочку * в правой части нужно заменить на $100x^4$.

Первый член в правой части — это 1. Это квадрат первого члена в скобках слева. Обозначим этот член (звездочку * в левой части) как a. Тогда $a^2 = 1$.

Отсюда находим, что $a=1$.

Таким образом, звездочки * в левой части нужно заменить на 1, а звездочку * в правой части — на $100x^4$.

Проверим полученное тождество: $(1 - 10x^2)(10x^2 + 1) = (1 - 10x^2)(1 + 10x^2) = 1^2 - (10x^2)^2 = 1 - 100x^4$. Равенство верно.

Ответ: $(1-10x^2)(10x^2+1)=1-100x^4$.