Номер 12.10, страница 49 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.10. Выполните возведение в квадрат, используя формулы сокращенного умножения:

а) $(3a + \frac{1}{3}b)^2$;

б) $(2b - \frac{1}{2}c)^2$;

в) $(6m + \frac{1}{6}n)^2$;

г) $(7x - \frac{1}{7}y)^2$;

д) $(\frac{2}{5}a + 2,5b)^2$;

е) $(1,4m - \frac{5}{7}n)^2$.

Для выполнения возведения в квадрат используются формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
• Квадрат разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

а) Применим формулу квадрата суммы для выражения $(3a + \frac{1}{3}b)^2$.

В данном случае $x = 3a$ и $y = \frac{1}{3}b$.

$(3a + \frac{1}{3}b)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot (3a) \cdot (\frac{1}{3}b) + (\frac{1}{3}b)^2 = 9a^2 + (2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3})ab + \frac{1}{9}b^2 = 9a^2 + 2ab + \frac{1}{9}b^2$.

Ответ: $9a^2 + 2ab + \frac{1}{9}b^2$.

б) Применим формулу квадрата разности для выражения $(2b - \frac{1}{2}c)^2$.

В данном случае $x = 2b$ и $y = \frac{1}{2}c$.

$(2b - \frac{1}{2}c)^2 = (2b)^2 - 2 \cdot (2b) \cdot (\frac{1}{2}c) + (\frac{1}{2}c)^2 = 4b^2 - (2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2})bc + \frac{1}{4}c^2 = 4b^2 - 2bc + \frac{1}{4}c^2$.

Ответ: $4b^2 - 2bc + \frac{1}{4}c^2$.

в) Применим формулу квадрата суммы для выражения $(6m + \frac{1}{6}n)^2$.

В данном случае $x = 6m$ и $y = \frac{1}{6}n$.

$(6m + \frac{1}{6}n)^2 = (6m)^2 + 2 \cdot (6m) \cdot (\frac{1}{6}n) + (\frac{1}{6}n)^2 = 36m^2 + (2 \cdot 6 \cdot \frac{1}{6})mn + \frac{1}{36}n^2 = 36m^2 + 2mn + \frac{1}{36}n^2$.

Ответ: $36m^2 + 2mn + \frac{1}{36}n^2$.

г) Применим формулу квадрата разности для выражения $(7x - \frac{1}{7}y)^2$.

В данном случае $x = 7x$ и $y = \frac{1}{7}y$.

$(7x - \frac{1}{7}y)^2 = (7x)^2 - 2 \cdot (7x) \cdot (\frac{1}{7}y) + (\frac{1}{7}y)^2 = 49x^2 - (2 \cdot 7 \cdot \frac{1}{7})xy + \frac{1}{49}y^2 = 49x^2 - 2xy + \frac{1}{49}y^2$.

Ответ: $49x^2 - 2xy + \frac{1}{49}y^2$.

д) Применим формулу квадрата суммы для выражения $(\frac{2}{5}a + 2,5b)^2$. Для удобства вычислений преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.

Выражение принимает вид $(\frac{2}{5}a + \frac{5}{2}b)^2$. Здесь $x = \frac{2}{5}a$ и $y = \frac{5}{2}b$.

$(\frac{2}{5}a + \frac{5}{2}b)^2 = (\frac{2}{5}a)^2 + 2 \cdot (\frac{2}{5}a) \cdot (\frac{5}{2}b) + (\frac{5}{2}b)^2 = \frac{4}{25}a^2 + (2 \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2})ab + \frac{25}{4}b^2 = \frac{4}{25}a^2 + 2ab + \frac{25}{4}b^2$.

Ответ: $\frac{4}{25}a^2 + 2ab + \frac{25}{4}b^2$.

е) Применим формулу квадрата разности для выражения $(1,4m - \frac{5}{7}n)^2$. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.

Выражение принимает вид $(\frac{7}{5}m - \frac{5}{7}n)^2$. Здесь $x = \frac{7}{5}m$ и $y = \frac{5}{7}n$.

$(\frac{7}{5}m - \frac{5}{7}n)^2 = (\frac{7}{5}m)^2 - 2 \cdot (\frac{7}{5}m) \cdot (\frac{5}{7}n) + (\frac{5}{7}n)^2 = \frac{49}{25}m^2 - (2 \cdot \frac{7}{5} \cdot \frac{5}{7})mn + \frac{25}{49}n^2 = \frac{49}{25}m^2 - 2mn + \frac{25}{49}n^2$.

Ответ: $\frac{49}{25}m^2 - 2mn + \frac{25}{49}n^2$.