Номер 12.5, страница 48 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.5. Представьте в виде многочлена произведение суммы и разности двух выражений:

а) $(x + y)(x - y)$;

б) $(b - c)(b + c)$;

в) $(a + 5)(a - 5)$;

г) $(d - 2)(d + 2)$;

д) $(a - b)(b + a)$;

е) $(c + d)(d - c)$;

ж) $(x - 3)(3 + x)$;

з) $(y + 7)(7 - y)$;

и) $(1 + n)(n - 1)$.

Для решения всех примеров используется формула сокращенного умножения, называемая "разность квадратов": $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$. Эта формула позволяет представить произведение суммы и разности двух выражений в виде многочлена.

а) В выражении $(x+y)(x-y)$ имеем $A=x$ и $B=y$. Применяя формулу, получаем:

$(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$

Ответ: $x^2 - y^2$

б) В выражении $(b-c)(b+c)$ имеем $A=b$ и $B=c$. Порядок множителей не имеет значения, поэтому это также разность квадратов:

$(b-c)(b+c) = b^2 - c^2$

Ответ: $b^2 - c^2$

в) В выражении $(a+5)(a-5)$ имеем $A=a$ и $B=5$. Применяем формулу:

$(a+5)(a-5) = a^2 - 5^2 = a^2 - 25$

Ответ: $a^2 - 25$

г) В выражении $(d-2)(d+2)$ имеем $A=d$ и $B=2$. Применяем формулу:

$(d-2)(d+2) = d^2 - 2^2 = d^2 - 4$

Ответ: $d^2 - 4$

д) В выражении $(a-b)(b+a)$ сначала приведем второй множитель к стандартному виду для формулы, используя переместительное свойство сложения: $b+a=a+b$.

Получаем $(a-b)(a+b)$. Здесь $A=a$ и $B=b$.

$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

Ответ: $a^2 - b^2$

е) В выражении $(c+d)(d-c)$ приведем первый множитель к удобному виду: $c+d=d+c$.

Получаем $(d+c)(d-c)$. Здесь $A=d$ и $B=c$.

$(d+c)(d-c) = d^2 - c^2$

Ответ: $d^2 - c^2$

ж) В выражении $(x-3)(3+x)$ приведем второй множитель к удобному виду: $3+x=x+3$.

Получаем $(x-3)(x+3)$. Здесь $A=x$ и $B=3$.

$(x-3)(x+3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$

Ответ: $x^2 - 9$

з) В выражении $(y+7)(7-y)$ приведем первый множитель к удобному виду: $y+7=7+y$.

Получаем $(7+y)(7-y)$. Здесь $A=7$ и $B=y$.

$(7+y)(7-y) = 7^2 - y^2 = 49 - y^2$

Ответ: $49 - y^2$

и) В выражении $(1+n)(n-1)$ приведем первый множитель к удобному виду: $1+n=n+1$.

Получаем $(n+1)(n-1)$. Здесь $A=n$ и $B=1$.

$(n+1)(n-1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$

Ответ: $n^2 - 1$