Номер 11.22, страница 47 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.22*. Докажите, что при любом натуральном значении переменной значение выражения:

a) $(n + 5)(n - 6) - (n - 2)(n + 15)$ кратно 14;

б) $(n - 1)(n + 12) - (n - 3)(n + 4)$ кратно 10.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $(n+5)(n-6)-(n-2)(n+15)$ кратно 14 при любом натуральном $n$, необходимо упростить это выражение.

1. Раскроем скобки в каждом произведении многочленов:

$(n+5)(n-6) = n \cdot n - 6 \cdot n + 5 \cdot n - 5 \cdot 6 = n^2 - 6n + 5n - 30 = n^2 - n - 30$

$(n-2)(n+15) = n \cdot n + 15 \cdot n - 2 \cdot n - 2 \cdot 15 = n^2 + 15n - 2n - 30 = n^2 + 13n - 30$

2. Подставим полученные многочлены обратно в исходное выражение и выполним вычитание:

$(n^2 - n - 30) - (n^2 + 13n - 30) = n^2 - n - 30 - n^2 - 13n + 30$

3. Приведем подобные слагаемые:

$(n^2 - n^2) + (-n - 13n) + (-30 + 30) = 0 - 14n + 0 = -14n$

В результате упрощения мы получили выражение $-14n$. По условию, $n$ — любое натуральное число. Произведение числа $-14$ на любое натуральное число $n$ всегда будет делиться на 14 без остатка. Следовательно, значение выражения кратно 14 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $(n-1)(n+12)-(n-3)(n+4)$ кратно 10 при любом натуральном $n$, также упростим его.

1. Раскроем скобки в каждом произведении:

$(n-1)(n+12) = n \cdot n + 12 \cdot n - 1 \cdot n - 1 \cdot 12 = n^2 + 12n - n - 12 = n^2 + 11n - 12$

$(n-3)(n+4) = n \cdot n + 4 \cdot n - 3 \cdot n - 3 \cdot 4 = n^2 + 4n - 3n - 12 = n^2 + n - 12$

2. Подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$(n^2 + 11n - 12) - (n^2 + n - 12) = n^2 + 11n - 12 - n^2 - n + 12$

3. Приведем подобные слагаемые:

$(n^2 - n^2) + (11n - n) + (-12 + 12) = 0 + 10n + 0 = 10n$

В результате упрощения мы получили выражение $10n$. Так как $n$ — любое натуральное число, произведение 10 на любое натуральное число $n$ всегда будет делиться на 10 без остатка. Следовательно, значение выражения кратно 10 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано.