Номер 11.19, страница 47 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.19*. Упростите выражение:

a) $(6x + 3)(2y - 3x + 1) + (2x - y)(9x - 1.5y - 2);$

б) $(12x - 3y)(8y - 2x - 6) + (4x - y)(6x - 24y + 18).$

а) Для упрощения данного выражения раскроем скобки в каждом слагаемом, перемножая многочлены, а затем приведем подобные слагаемые.
Исходное выражение: $ (6x + 3)(2y - 3x + 1) + (2x - y)(9x - 1.5y - 2) $.

1. Раскроем скобки в первом слагаемом:
$ (6x + 3)(2y - 3x + 1) = 6x \cdot 2y + 6x \cdot (-3x) + 6x \cdot 1 + 3 \cdot 2y + 3 \cdot (-3x) + 3 \cdot 1 = 12xy - 18x^2 + 6x + 6y - 9x + 3 $.
Приведем подобные слагаемые: $ 12xy - 18x^2 - 3x + 6y + 3 $.

2. Раскроем скобки во втором слагаемом:
$ (2x - y)(9x - 1.5y - 2) = 2x \cdot 9x + 2x \cdot (-1.5y) + 2x \cdot (-2) - y \cdot 9x - y \cdot (-1.5y) - y \cdot (-2) = 18x^2 - 3xy - 4x - 9xy + 1.5y^2 + 2y $.
Приведем подобные слагаемые: $ 18x^2 - 12xy - 4x + 1.5y^2 + 2y $.

3. Сложим полученные выражения:
$ (12xy - 18x^2 - 3x + 6y + 3) + (18x^2 - 12xy - 4x + 1.5y^2 + 2y) $.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$ (-18x^2 + 18x^2) + (12xy - 12xy) + (-3x - 4x) + (6y + 2y) + 1.5y^2 + 3 = 0 + 0 - 7x + 8y + 1.5y^2 + 3 $.
Результат: $ 1.5y^2 - 7x + 8y + 3 $.

Ответ: $ 1.5y^2 - 7x + 8y + 3 $.

б) Для упрощения данного выражения вынесем общие множители за скобки в каждом из произведений.
Исходное выражение: $ (12x - 3y)(8y - 2x - 6) + (4x - y)(6x - 24y + 18) $.

1. Преобразуем первое слагаемое $ (12x - 3y)(8y - 2x - 6) $.
Вынесем общий множитель 3 из первой скобки: $ 12x - 3y = 3(4x - y) $.
Вынесем общий множитель -2 из второй скобки: $ 8y - 2x - 6 = -2(-4y + x + 3) = -2(x - 4y + 3) $.
Тогда первое слагаемое равно: $ 3(4x - y) \cdot (-2(x - 4y + 3)) = -6(4x - y)(x - 4y + 3) $.

2. Преобразуем второе слагаемое $ (4x - y)(6x - 24y + 18) $.
Вынесем общий множитель 6 из второй скобки: $ 6x - 24y + 18 = 6(x - 4y + 3) $.
Тогда второе слагаемое равно: $ (4x - y) \cdot 6(x - 4y + 3) = 6(4x - y)(x - 4y + 3) $.

3. Подставим преобразованные слагаемые в исходное выражение:
$ -6(4x - y)(x - 4y + 3) + 6(4x - y)(x - 4y + 3) $.
Мы получили сумму двух противоположных выражений, которая равна нулю.

Ответ: $ 0 $.