Номер 11.17, страница 47 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.17*. Упростите выражение, приведя его к многочлену стандартного вида:

a) $(a+5b)(a-b+3)-(a-b)(a+5b-3);$

б) $(x+3y)(x+y+2)-(x+y)(x+3y+2).$

а) $(a + 5b)(a - b + 3) - (a - b)(a + 5b - 3)$

Для упрощения этого выражения можно заметить общие части в скобках и использовать метод замены. Введем две новые переменные:

Пусть $U = a + 5b$ и $V = a - b$.

Тогда исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$U(V + 3) - V(U - 3)$

Теперь раскроем скобки:

$U \cdot V + U \cdot 3 - V \cdot U - V \cdot (-3) = UV + 3U - VU + 3V$

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, $UV = VU$. Таким образом, слагаемые $UV$ и $-VU$ взаимно уничтожаются:

$UV - VU + 3U + 3V = 3U + 3V$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3(U + V)$

Теперь выполним обратную подстановку, заменив $U$ и $V$ на их первоначальные выражения:

$3((a + 5b) + (a - b))$

Упростим выражение в скобках, приведя подобные слагаемые:

$3(a + a + 5b - b) = 3(2a + 4b)$

Наконец, раскроем скобки:

$3 \cdot 2a + 3 \cdot 4b = 6a + 12b$

Ответ: $6a + 12b$

б) $(x + 3y)(x + y + 2) - (x + y)(x + 3y + 2)$

Это выражение также имеет схожую структуру. Введем замену, чтобы упростить вычисления.

Пусть $A = x + 3y$ и $B = x + y$.

Подставим эти обозначения в исходное выражение:

$A(B + 2) - B(A + 2)$

Раскроем скобки в каждом произведении:

$A \cdot B + A \cdot 2 - (B \cdot A + B \cdot 2) = AB + 2A - BA - 2B$

Так как $AB = BA$, эти члены взаимно уничтожаются:

$AB - BA + 2A - 2B = 2A - 2B$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(A - B)$

Теперь вернемся к исходным переменным, подставив выражения для $A$ и $B$:

$2((x + 3y) - (x + y))$

Раскроем внутренние скобки (обращая внимание на знак минус):

$2(x + 3y - x - y)$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$2((x - x) + (3y - y)) = 2(2y)$

Выполним последнее умножение:

$4y$

Ответ: $4y$