Номер 11.20, страница 47 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.20* Если длину прямоугольника уменьшить на 4 см, а ширину его увеличить на 7 см, то получится квадрат, площадь которого будет на $58 \text{ см}^2$ больше площади прямоугольника. Определите длину стороны квадрата.

Пусть $a$ - искомая длина стороны квадрата в сантиметрах.

Согласно условию задачи, новый квадрат получается из исходного прямоугольника путем изменения его сторон. Длина прямоугольника $L$ была уменьшена на 4 см, чтобы получить сторону квадрата $a$. Следовательно, первоначальная длина прямоугольника была: $L = a + 4$ см.

Ширина прямоугольника $W$ была увеличена на 7 см, чтобы получить сторону квадрата $a$. Следовательно, первоначальная ширина прямоугольника была: $W = a - 7$ см.

Площадь исходного прямоугольника $S_{пр}$ вычисляется как произведение длины на ширину: $S_{пр} = L \cdot W = (a + 4)(a - 7)$ см².

Площадь получившегося квадрата $S_{кв}$ вычисляется как квадрат его стороны: $S_{кв} = a^2$ см².

По условию, площадь квадрата на 58 см² больше площади прямоугольника. Запишем это в виде уравнения: $S_{кв} = S_{пр} + 58$

Подставим в это уравнение выражения для площадей через $a$: $a^2 = (a + 4)(a - 7) + 58$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки в правой части: $a^2 = a \cdot a - 7 \cdot a + 4 \cdot a - 4 \cdot 7 + 58$ $a^2 = a^2 - 3a - 28 + 58$ $a^2 = a^2 - 3a + 30$

Перенесем все члены в левую часть уравнения: $a^2 - a^2 + 3a - 30 = 0$ $3a - 30 = 0$

Решим линейное уравнение относительно $a$: $3a = 30$ $a = \frac{30}{3}$ $a = 10$

Длина стороны квадрата равна 10 см.

Проверка:
Если сторона квадрата $a = 10$ см, то его площадь $S_{кв} = 10^2 = 100$ см².
Находим исходные размеры прямоугольника: Длина $L = a + 4 = 10 + 4 = 14$ см.
Ширина $W = a - 7 = 10 - 7 = 3$ см.
Площадь прямоугольника $S_{пр} = L \cdot W = 14 \cdot 3 = 42$ см².
Проверяем разницу площадей: $S_{кв} - S_{пр} = 100 - 42 = 58$ см². Разница соответствует условию задачи.

Ответ: 10 см.