Номер 11.18, страница 47 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.18*. Докажите, что значение выражения $$ (c-1)(c^2+c+1) - (c+1)(c^2-c+1) $$ не зависит от значения переменной.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной, необходимо упростить данное выражение. Если в результате упрощения получится число (константа), не содержащее переменную, то утверждение будет доказано.

Рассмотрим выражение: $(c - 1)(c^2 + c + 1) - (c + 1)(c^2 - c + 1)$.

Для упрощения воспользуемся формулами сокращенного умножения: разностью кубов и суммой кубов.

Первое произведение, $(c - 1)(c^2 + c + 1)$, является формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Применив эту формулу, где $a=c$ и $b=1$, получаем:
$(c - 1)(c^2 + c \cdot 1 + 1^2) = c^3 - 1^3 = c^3 - 1$.

Второе произведение, $(c + 1)(c^2 - c + 1)$, является формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Применив эту формулу, где $a=c$ и $b=1$, получаем:
$(c + 1)(c^2 - c \cdot 1 + 1^2) = c^3 + 1^3 = c^3 + 1$.

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$(c^3 - 1) - (c^3 + 1)$

Раскроем скобки. Знак минус перед второй скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:

$c^3 - 1 - c^3 - 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(c^3 - c^3) + (-1 - 1) = 0 - 2 = -2$

В результате преобразований мы получили число $-2$. Это значение является константой и не содержит переменную $c$. Следовательно, значение исходного выражения не зависит от значения переменной $c$.

Ответ: Упростив выражение, получаем $(c^3 - 1) - (c^3 + 1) = c^3 - 1 - c^3 - 1 = -2$. Так как результат является константой, значение выражения не зависит от значения переменной $c$.