Номер 11.15, страница 46 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.15. Упростите выражение и найдите его значение:

а) $(2a + 3x)(5a - x^2) - (a + x^2)(10a - 3x)$ при $a = \frac{1}{6}$ и $x = -0,5$;

б) $(4a - 2b)(3a + b^2) - (6a - b^2)(2a + 2b)$ при $a = -\frac{1}{3}$ и $b = 0,5$.

а)

Сначала упростим данное выражение. Для этого раскроем скобки, перемножая многочлены:

$(2a + 3x)(5a - x^2) - (a + x^2)(10a - 3x) = (2a \cdot 5a + 2a \cdot (-x^2) + 3x \cdot 5a + 3x \cdot (-x^2)) - (a \cdot 10a + a \cdot (-3x) + x^2 \cdot 10a + x^2 \cdot (-3x)) = (10a^2 - 2ax^2 + 15ax - 3x^3) - (10a^2 - 3ax + 10ax^2 - 3x^3)$

Теперь раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные, и приведем подобные члены:

$10a^2 - 2ax^2 + 15ax - 3x^3 - 10a^2 + 3ax - 10ax^2 + 3x^3 = (10a^2 - 10a^2) + (-2ax^2 - 10ax^2) + (15ax + 3ax) + (-3x^3 + 3x^3) = 18ax - 12ax^2$

Упрощенное выражение: $18ax - 12ax^2$.

Теперь подставим в него значения $a = \frac{1}{6}$ и $x = -0,5 = -\frac{1}{2}$:

$18ax - 12ax^2 = 18 \cdot \frac{1}{6} \cdot (-\frac{1}{2}) - 12 \cdot \frac{1}{6} \cdot (-\frac{1}{2})^2 = 3 \cdot (-\frac{1}{2}) - 2 \cdot \frac{1}{4} = -\frac{3}{2} - \frac{2}{4} = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{4}{2} = -2$

Ответ: -2

б)

Сначала упростим данное выражение. Для этого раскроем скобки, перемножая многочлены:

$(4a - 2b)(3a + b^2) - (6a - b^2)(2a + 2b) = (4a \cdot 3a + 4a \cdot b^2 - 2b \cdot 3a - 2b \cdot b^2) - (6a \cdot 2a + 6a \cdot 2b - b^2 \cdot 2a - b^2 \cdot 2b) = (12a^2 + 4ab^2 - 6ab - 2b^3) - (12a^2 + 12ab - 2ab^2 - 2b^3)$

Теперь раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные, и приведем подобные члены:

$12a^2 + 4ab^2 - 6ab - 2b^3 - 12a^2 - 12ab + 2ab^2 + 2b^3 = (12a^2 - 12a^2) + (4ab^2 + 2ab^2) + (-6ab - 12ab) + (-2b^3 + 2b^3) = 6ab^2 - 18ab$

Упрощенное выражение: $6ab^2 - 18ab$.

Теперь подставим в него значения $a = -\frac{1}{3}$ и $b = 0,5 = \frac{1}{2}$:

$6ab^2 - 18ab = 6 \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot (\frac{1}{2})^2 - 18 \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{1}{2} = 6 \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{1}{4} - (-6) \cdot \frac{1}{2} = -2 \cdot \frac{1}{4} - (-3) = -\frac{2}{4} + 3 = -\frac{1}{2} + 3 = 2,5$

Ответ: 2,5