Номер 11.9, страница 45 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.9. Представьте в виде многочлена выражение:

а) $(2a - 1)(3a + 1) - 6a(a - 3);$

б) $(4b + 3)(8b - 3) - 16b(2b - 1);$

в) $(m - n)(m + 3n) + n(m + 5n);$

г) $(x - y)(x + 2y) - 3x(-x + 5y).$

а)

Чтобы представить выражение в виде многочлена, необходимо раскрыть все скобки и привести подобные слагаемые.

1. Умножим многочлен $(2a - 1)$ на $(3a + 1)$:
$(2a - 1)(3a + 1) = 2a \cdot 3a + 2a \cdot 1 - 1 \cdot 3a - 1 \cdot 1 = 6a^2 + 2a - 3a - 1 = 6a^2 - a - 1$.

2. Умножим одночлен $-6a$ на многочлен $(a - 3)$:
$-6a(a - 3) = -6a \cdot a - 6a \cdot (-3) = -6a^2 + 18a$.

3. Сложим полученные результаты и приведем подобные члены:

$(6a^2 - a - 1) + (-6a^2 + 18a) = 6a^2 - a - 1 - 6a^2 + 18a = (6a^2 - 6a^2) + (-a + 18a) - 1 = 17a - 1$.

Ответ: $17a - 1$

б)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, как в предыдущем примере.

1. Умножим многочлен $(4b + 3)$ на $(8b - 3)$:
$(4b + 3)(8b - 3) = 4b \cdot 8b + 4b \cdot (-3) + 3 \cdot 8b + 3 \cdot (-3) = 32b^2 - 12b + 24b - 9 = 32b^2 + 12b - 9$.

2. Умножим одночлен $-16b$ на многочлен $(2b - 1)$:
$-16b(2b - 1) = -16b \cdot 2b - 16b \cdot (-1) = -32b^2 + 16b$.

3. Сложим полученные многочлены и упростим выражение:

$(32b^2 + 12b - 9) + (-32b^2 + 16b) = 32b^2 + 12b - 9 - 32b^2 + 16b = (32b^2 - 32b^2) + (12b + 16b) - 9 = 28b - 9$.

Ответ: $28b - 9$

в)

Выполним преобразование по аналогии с предыдущими пунктами.

1. Раскроем произведение $(m - n)(m + 3n)$:
$(m - n)(m + 3n) = m \cdot m + m \cdot 3n - n \cdot m - n \cdot 3n = m^2 + 3mn - mn - 3n^2 = m^2 + 2mn - 3n^2$.

2. Раскроем произведение $n(m + 5n)$:
$n(m + 5n) = n \cdot m + n \cdot 5n = mn + 5n^2$.

3. Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:

$(m^2 + 2mn - 3n^2) + (mn + 5n^2) = m^2 + 2mn - 3n^2 + mn + 5n^2 = m^2 + (2mn + mn) + (-3n^2 + 5n^2) = m^2 + 3mn + 2n^2$.

Ответ: $m^2 + 3mn + 2n^2$

г)

Преобразуем данное выражение в многочлен стандартного вида.

1. Раскроем произведение $(x - y)(x + 2y)$:
$(x - y)(x + 2y) = x \cdot x + x \cdot 2y - y \cdot x - y \cdot 2y = x^2 + 2xy - xy - 2y^2 = x^2 + xy - 2y^2$.

2. Раскроем произведение $-3x(-x + 5y)$:
$-3x(-x + 5y) = -3x \cdot (-x) - 3x \cdot 5y = 3x^2 - 15xy$.

3. Сложим результаты и приведем подобные члены:

$(x^2 + xy - 2y^2) + (3x^2 - 15xy) = x^2 + xy - 2y^2 + 3x^2 - 15xy = (x^2 + 3x^2) + (xy - 15xy) - 2y^2 = 4x^2 - 14xy - 2y^2$.

Ответ: $4x^2 - 14xy - 2y^2$