Номер 11.6, страница 45 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.6. Представьте в виде многочлена стандартного вида выражение:

а) $(a^2 - 2a + 5)(a - 1)$;

б) $(3b - 2)(b^2 - 5b + 3)$;

в) $(2 - 3c)(-c^2 - 4c + 7)$;

г) $(3x^2 - x - 1)(5 + 2x)$;

д) $(b - 1)(b^2 - b - 6)$;

е) $(y^2 - y + 1)(y - 1)$.

а) Чтобы представить выражение $(a^2-2a+5)(a-1)$ в виде многочлена стандартного вида, необходимо умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена (раскрыть скобки) и затем привести подобные слагаемые.

$(a^2-2a+5)(a-1) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot (-1) - 2a \cdot a - 2a \cdot (-1) + 5 \cdot a + 5 \cdot (-1) = a^3 - a^2 - 2a^2 + 2a + 5a - 5$.

Теперь сгруппируем и сложим подобные члены:

$a^3 + (-a^2 - 2a^2) + (2a + 5a) - 5 = a^3 - 3a^2 + 7a - 5$.

Ответ: $a^3 - 3a^2 + 7a - 5$.

б) Умножим многочлен $(3b-2)$ на многочлен $(b^2-5b+3)$:

$(3b-2)(b^2-5b+3) = 3b \cdot b^2 + 3b \cdot (-5b) + 3b \cdot 3 - 2 \cdot b^2 - 2 \cdot (-5b) - 2 \cdot 3 = 3b^3 - 15b^2 + 9b - 2b^2 + 10b - 6$.

Приведем подобные слагаемые:

$3b^3 + (-15b^2 - 2b^2) + (9b + 10b) - 6 = 3b^3 - 17b^2 + 19b - 6$.

Ответ: $3b^3 - 17b^2 + 19b - 6$.

в) Раскроем скобки в выражении $(2-3c)(-c^2-4c+7)$:

$(2-3c)(-c^2-4c+7) = 2 \cdot (-c^2) + 2 \cdot (-4c) + 2 \cdot 7 - 3c \cdot (-c^2) - 3c \cdot (-4c) - 3c \cdot 7 = -2c^2 - 8c + 14 + 3c^3 + 12c^2 - 21c$.

Сгруппируем подобные члены и запишем многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней):

$3c^3 + (-2c^2 + 12c^2) + (-8c - 21c) + 14 = 3c^3 + 10c^2 - 29c + 14$.

Ответ: $3c^3 + 10c^2 - 29c + 14$.

г) Умножим многочлены $(3x^2-x-1)$ и $(5+2x)$. Для удобства можно записать второй множитель как $(2x+5)$.

$(3x^2-x-1)(2x+5) = 3x^2 \cdot 2x + 3x^2 \cdot 5 - x \cdot 2x - x \cdot 5 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 5 = 6x^3 + 15x^2 - 2x^2 - 5x - 2x - 5$.

Приведем подобные слагаемые:

$6x^3 + (15x^2 - 2x^2) + (-5x - 2x) - 5 = 6x^3 + 13x^2 - 7x - 5$.

Ответ: $6x^3 + 13x^2 - 7x - 5$.

д) Выполним умножение многочленов $(b-1)(b^2-b-6)$:

$(b-1)(b^2-b-6) = b \cdot b^2 + b \cdot (-b) + b \cdot (-6) - 1 \cdot b^2 - 1 \cdot (-b) - 1 \cdot (-6) = b^3 - b^2 - 6b - b^2 + b + 6$.

Сложим подобные члены:

$b^3 + (-b^2 - b^2) + (-6b + b) + 6 = b^3 - 2b^2 - 5b + 6$.

Ответ: $b^3 - 2b^2 - 5b + 6$.

е) Раскроем скобки в выражении $(y^2-y+1)(y-1)$:

$(y^2-y+1)(y-1) = y^2 \cdot y + y^2 \cdot (-1) - y \cdot y - y \cdot (-1) + 1 \cdot y + 1 \cdot (-1) = y^3 - y^2 - y^2 + y + y - 1$.

Приведем подобные слагаемые:

$y^3 + (-y^2 - y^2) + (y + y) - 1 = y^3 - 2y^2 + 2y - 1$.

Ответ: $y^3 - 2y^2 + 2y - 1$.