Номер 11.10, страница 46 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.10. Упростите выражение, приведя его к многочлену

стандартного вида:

а) $ (7b - 1)(7b + 1) + (b - 5)(6b + 1) $;

б) $ (3a - 4)(2a - 3) - (5a - 2)(a - 1) $;

в) $ (m - n)(m + 7) - (m + n)(m - 7) $;

г) $ (x + y)(x - 7y) + (x + y)(-x + 3y) $.

а) $(7b-1)(7b+1) + (b-5)(6b+1)$

Для упрощения выражения раскроем скобки. Первое произведение является разностью квадратов, а второе — произведением двух многочленов.

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ к первому произведению:

$(7b-1)(7b+1) = (7b)^2 - 1^2 = 49b^2 - 1$

Раскроем скобки во втором произведении, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(b-5)(6b+1) = b \cdot 6b + b \cdot 1 - 5 \cdot 6b - 5 \cdot 1 = 6b^2 + b - 30b - 5 = 6b^2 - 29b - 5$

Теперь сложим полученные многочлены:

$(49b^2 - 1) + (6b^2 - 29b - 5) = 49b^2 - 1 + 6b^2 - 29b - 5$

Приведем подобные слагаемые:

$(49b^2 + 6b^2) - 29b + (-1 - 5) = 55b^2 - 29b - 6$

Ответ: $55b^2 - 29b - 6$

б) $(3a-4)(2a-3) - (5a-2)(a-1)$

Раскроем скобки в каждом произведении.

Первое произведение:

$(3a-4)(2a-3) = 3a \cdot 2a + 3a \cdot (-3) - 4 \cdot 2a - 4 \cdot (-3) = 6a^2 - 9a - 8a + 12 = 6a^2 - 17a + 12$

Второе произведение:

$(5a-2)(a-1) = 5a \cdot a + 5a \cdot (-1) - 2 \cdot a - 2 \cdot (-1) = 5a^2 - 5a - 2a + 2 = 5a^2 - 7a + 2$

Теперь вычтем второй многочлен из первого. Важно помнить, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные.

$(6a^2 - 17a + 12) - (5a^2 - 7a + 2) = 6a^2 - 17a + 12 - 5a^2 + 7a - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$(6a^2 - 5a^2) + (-17a + 7a) + (12 - 2) = a^2 - 10a + 10$

Ответ: $a^2 - 10a + 10$

в) $(m-n)(m+7) - (m+n)(m-7)$

Раскроем скобки в каждом произведении.

Первое произведение:

$(m-n)(m+7) = m \cdot m + m \cdot 7 - n \cdot m - n \cdot 7 = m^2 + 7m - mn - 7n$

Второе произведение:

$(m+n)(m-7) = m \cdot m + m \cdot (-7) + n \cdot m + n \cdot (-7) = m^2 - 7m + mn - 7n$

Вычтем второй многочлен из первого:

$(m^2 + 7m - mn - 7n) - (m^2 - 7m + mn - 7n) = m^2 + 7m - mn - 7n - m^2 + 7m - mn + 7n$

Приведем подобные слагаемые:

$(m^2 - m^2) + (7m + 7m) + (-mn - mn) + (-7n + 7n) = 0 + 14m - 2mn + 0 = 14m - 2mn$

Ответ: $14m - 2mn$

г) $(x+y)(x-7y) + (x+y)(-x+3y)$

Раскроем скобки в каждом произведении.

Первое произведение:

$(x+y)(x-7y) = x \cdot x + x \cdot (-7y) + y \cdot x + y \cdot (-7y) = x^2 - 7xy + xy - 7y^2 = x^2 - 6xy - 7y^2$

Второе произведение:

$(x+y)(-x+3y) = x \cdot (-x) + x \cdot 3y + y \cdot (-x) + y \cdot 3y = -x^2 + 3xy - xy + 3y^2 = -x^2 + 2xy + 3y^2$

Теперь сложим полученные многочлены:

$(x^2 - 6xy - 7y^2) + (-x^2 + 2xy + 3y^2) = x^2 - 6xy - 7y^2 - x^2 + 2xy + 3y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-6xy + 2xy) + (-7y^2 + 3y^2) = 0 - 4xy - 4y^2 = -4xy - 4y^2$

Ответ: $-4xy - 4y^2$