Номер 10.23, страница 44 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.23*. Многочлен с переменными $x$, $y$, $z$ записан в стандартном виде и представляет собой сумму четырех одночленов степени 4 и трех одночленов степени 3. Приведите пример, когда данный многочлен можно представить в виде произведения одночлена и некоторого нового многочлена.

Согласно условию, нам нужно составить многочлен $P(x, y, z)$, который удовлетворяет следующим требованиям:

• Он записан в стандартном виде.
• Он является суммой четырех одночленов 4-й степени и трех одночленов 3-й степени.
• Его можно представить в виде произведения одночлена $M(x, y, z)$ и некоторого нового многочлена $Q(x, y, z)$, то есть $P = M \cdot Q$.

Последнее требование является ключевым для построения примера. Если многочлен $P$ можно разложить на произведение $M \cdot Q$, это означает, что каждый член многочлена $P$ должен содержать одночлен $M$ в качестве общего множителя.

Построим такой многочлен по шагам.

1. Выберем общий множитель — одночлен $M$. Пусть это будет простой одночлен, зависящий от одной из переменных, например, $M(x, y, z) = x$. Степень этого одночлена равна 1.

2. Определим структуру второго множителя — многочлена $Q$. Так как $P = M \cdot Q$, то степень каждого члена в $P$ равна сумме степени $M$ и степени соответствующего члена в $Q$.

• Чтобы получить четыре члена 4-й степени в многочлене $P$, нам нужно, чтобы в многочлене $Q$ было четыре различных (неподобных) одночлена, степень которых равна $4 - \text{степень}(M) = 4 - 1 = 3$.
• Чтобы получить три члена 3-й степени в многочлене $P$, нам нужно, чтобы в многочлене $Q$ было три различных (неподобных) одночлена, степень которых равна $3 - \text{степень}(M) = 3 - 1 = 2$.

3. Составим многочлен $Q$, выбрав произвольные неподобные одночлены нужных степеней. Например:

• Четыре одночлена 3-й степени: $y^3, z^3, y^2z, yz^2$.
• Три одночлена 2-й степени: $x^2, y^2, z^2$.

Тогда многочлен $Q$ может иметь вид: $Q(x, y, z) = y^3 + z^3 + y^2z + yz^2 + x^2 + y^2 + z^2$.

4. Найдем искомый многочлен $P$, умножив $M$ на $Q$: $P(x, y, z) = x \cdot (y^3 + z^3 + y^2z + yz^2 + x^2 + y^2 + z^2)$.

Раскроем скобки, чтобы получить $P$ в стандартном виде: $P(x, y, z) = xy^3 + xz^3 + xy^2z + xyz^2 + x^3 + xy^2 + xz^2$.

5. Проверим, соответствует ли полученный многочлен $P$ всем условиям:

• Все семь его членов ($xy^3, xz^3, xy^2z, xyz^2, x^3, xy^2, xz^2$) не являются подобными, значит, многочлен записан в стандартном виде.
• Найдем степени одночленов:
  • Степень 4: $xy^3$ (степень 1+3=4), $xz^3$ (1+3=4), $xy^2z$ (1+2+1=4), $xyz^2$ (1+1+2=4). Всего 4 одночлена.
  • Степень 3: $x^3$ (степень 3), $xy^2$ (1+2=3), $xz^2$ (1+2=3). Всего 3 одночлена.
  Это условие выполняется.
• По построению, многочлен $P$ можно представить в виде произведения одночлена $x$ и нового многочлена $y^3 + z^3 + y^2z + yz^2 + x^2 + y^2 + z^2$.

Таким образом, приведенный многочлен является верным примером.

Ответ: Примером такого многочлена является $P(x, y, z) = x^4 + x^3y + x^2y^2 + x y^2z + x^3 + y^3 + z^3$. Этот многочлен можно представить в виде произведения одночлена $x$ и многочлена $(x^3 + x^2y + xy^2 + y^2z)$, если скорректировать пример, или, используя многочлен из рассуждений выше: $xy^3 + xz^3 + xy^2z + xyz^2 + x^3 + xy^2 + xz^2$. Данный многочлен является произведением одночлена $x$ и многочлена $(y^3 + z^3 + y^2z + yz^2 + x^2 + y^2 + z^2)$.