Номер 10.21, страница 43 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.21. При каких значениях a и b многочлен $2x^3y+4xy^2-8xy-6x+3-a(2xy^2-2xy-3x+3)+b(x^3y-2xy+7)$ имеет степень 1?

Для того чтобы определить, при каких значениях $a$ и $b$ многочлен будет иметь степень 1, необходимо упростить исходное выражение и сгруппировать члены по степеням. Степень многочлена — это наибольшая из степеней его одночленов, а степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Исходный многочлен:

$P(x, y) = 2x^3y + 4xy^2 - 8xy - 6x + 3 - a(2xy^2 - 2xy - 3x + 3) + b(x^3y - 2xy + 7)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$P(x, y) = 2x^3y + 4xy^2 - 8xy - 6x + 3 - 2axy^2 + 2axy + 3ax - 3a + bx^3y - 2bxy + 7b$

Сгруппируем члены по одинаковым степеням переменных $x$ и $y$:

$P(x, y) = (2x^3y + bx^3y) + (4xy^2 - 2axy^2) + (-8xy + 2axy - 2bxy) + (-6x + 3ax) + (3 - 3a + 7b)$

Вынесем переменные за скобки, чтобы получить многочлен в стандартном виде:

$P(x, y) = (2 + b)x^3y + (4 - 2a)xy^2 + (-8 + 2a - 2b)xy + (-6 + 3a)x + (3 - 3a + 7b)$

Чтобы степень многочлена была равна 1, необходимо, чтобы коэффициенты при всех членах, степень которых больше 1, были равны нулю, а коэффициент при члене со степенью 1 не был равен нулю. Определим степени членов многочлена:

Степень члена $(2 + b)x^3y$ равна $3+1=4$.
Степень члена $(4 - 2a)xy^2$ равна $1+2=3$.
Степень члена $(-8 + 2a - 2b)xy$ равна $1+1=2$.
Степень члена $(-6 + 3a)x$ равна $1$.

Это приводит к следующей системе условий:

1. Коэффициент при $x^3y$ (степень 4) должен быть равен нулю: $2 + b = 0$.
2. Коэффициент при $xy^2$ (степень 3) должен быть равен нулю: $4 - 2a = 0$.
3. Коэффициент при $xy$ (степень 2) должен быть равен нулю: $-8 + 2a - 2b = 0$.
4. Коэффициент при $x$ (степень 1) не должен быть равен нулю: $-6 + 3a \neq 0$.

Решим систему уравнений, чтобы найти $a$ и $b$.

Из первого уравнения находим $b$: $2 + b = 0 \implies b = -2$.

Из второго уравнения находим $a$: $4 - 2a = 0 \implies 2a = 4 \implies a = 2$.

Проверим, удовлетворяют ли эти значения третьему уравнению:

$-8 + 2(2) - 2(-2) = -8 + 4 + 4 = 0$.

Третье уравнение выполняется. Это означает, что при $a=2$ и $b=-2$ все члены со степенью выше первой обращаются в ноль.

Теперь проверим четвертое условие (неравенство) для коэффициента при члене первой степени:

$-6 + 3a = -6 + 3(2) = -6 + 6 = 0$.

Это условие не выполняется, так как коэффициент получился равным нулю. Это означает, что при $a=2$ и $b=-2$ не только члены степени выше первой, но и член первой степени обращается в ноль. В этом случае многочлен становится равен константе: $3 - 3a + 7b = 3 - 3(2) + 7(-2) = 3 - 6 - 14 = -17$. Степень такого многочлена равна 0, а не 1.

Следовательно, не существует таких значений $a$ и $b$, при которых данный многочлен имеет степень 1.

Ответ: Таких значений $a$ и $b$ не существует.