Номер 10.16, страница 43 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.16. Выполните действия и приведите результат к много-члену стандартного вида:

а) $(3x^2 - x) : x - (5x - 2)$;

б) $(3a^3 - 4a^2) : a^2 - (5a^3 + a) : a;

в) $(9m^6 - 6m^3) : (3m^3) + (-3m^3 + 2m^2);

г) $(-6b^4 - 15b^2) : (-3b) + (-b^5 + b^3) : b^2.

а) $(3x^2 - x) : x - (5x - 2)$

Решение:

1. Первым действием выполним деление многочлена $(3x^2 - x)$ на одночлен $x$. Для этого разделим каждый член многочлена на $x$:

$(3x^2 - x) : x = \frac{3x^2}{x} - \frac{x}{x} = 3x^{2-1} - x^{1-1} = 3x - 1$

2. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(3x - 1) - (5x - 2)$

3. Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак "минус", знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные:

$3x - 1 - 5x + 2$

4. Приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени и свободные члены):

$(3x - 5x) + (-1 + 2) = -2x + 1$

Полученный многочлен $-2x + 1$ является многочленом стандартного вида.

Ответ: $-2x + 1$

б) $(3a^3 - 4a^2) : a^2 - (5a^3 + a) : a$

Решение:

1. Выполним первое деление: $(3a^3 - 4a^2) : a^2$.

$\frac{3a^3}{a^2} - \frac{4a^2}{a^2} = 3a^{3-2} - 4a^{2-2} = 3a - 4$

2. Выполним второе деление: $(5a^3 + a) : a$.

$\frac{5a^3}{a} + \frac{a}{a} = 5a^{3-1} + a^{1-1} = 5a^2 + 1$

3. Подставим результаты в исходное выражение:

$(3a - 4) - (5a^2 + 1)$

4. Раскроем скобки, меняя знаки во втором выражении:

$3a - 4 - 5a^2 - 1$

5. Приведем подобные слагаемые и запишем результат в стандартном виде, располагая члены в порядке убывания степеней переменной $a$:

$-5a^2 + 3a + (-4 - 1) = -5a^2 + 3a - 5$

Ответ: $-5a^2 + 3a - 5$

в) $(9m^6 - 6m^3) : (3m^3) + (-3m^3 + 2m^2)$

Решение:

1. Выполним деление многочлена на одночлен:

$(9m^6 - 6m^3) : (3m^3) = \frac{9m^6}{3m^3} - \frac{6m^3}{3m^3} = 3m^{6-3} - 2m^{3-3} = 3m^3 - 2$

2. Подставим результат в исходное выражение:

$(3m^3 - 2) + (-3m^3 + 2m^2)$

3. Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак "плюс", знаки слагаемых не меняются:

$3m^3 - 2 - 3m^3 + 2m^2$

4. Приведем подобные слагаемые и запишем многочлен в стандартном виде:

$(3m^3 - 3m^3) + 2m^2 - 2 = 0 + 2m^2 - 2 = 2m^2 - 2$

Ответ: $2m^2 - 2$

г) $(-6b^4 - 15b^2) : (-3b) + (-b^5 + b^3) : b^2$

Решение:

1. Выполним первое деление:

$(-6b^4 - 15b^2) : (-3b) = \frac{-6b^4}{-3b} + \frac{-15b^2}{-3b} = 2b^{4-1} + 5b^{2-1} = 2b^3 + 5b$

2. Выполним второе деление:

$(-b^5 + b^3) : b^2 = \frac{-b^5}{b^2} + \frac{b^3}{b^2} = -b^{5-2} + b^{3-2} = -b^3 + b$

3. Сложим полученные многочлены:

$(2b^3 + 5b) + (-b^3 + b)$

4. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2b^3 + 5b - b^3 + b = (2b^3 - b^3) + (5b + b) = b^3 + 6b$

Ответ: $b^3 + 6b$