Номер 10.19, страница 43 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.19. Преобразуйте произведение в многочлен стандартного вида:

а) $-3x^5 y^2 (5x^3 y^5 + 2x^4 y^3 - 3x^2 y^3 - x^2 + 6y);$

б) $0.3x^4 y^3 (2x^3 y^3 - 3x^2 y + 5xy^2 - 7x + 2y);$

в) $-4x^2 y^3 (2x^3 y - 5x^2 y^3 + 3x^2 - 2y);$

г) $2x^3 y (3x^2 y^3 - 7xy^2 - 4xy + x - 3y).$

а) Чтобы преобразовать произведение в многочлен, умножим одночлен $-3x^5y^2$ на каждый член многочлена, стоящего в скобках. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
$-3x^5y^2(5x^3y^5 + 2x^4y^3 - 3x^2y^3 - x^2 + 6y) = $
$= (-3x^5y^2) \cdot (5x^3y^5) + (-3x^5y^2) \cdot (2x^4y^3) + (-3x^5y^2) \cdot (-3x^2y^3) + (-3x^5y^2) \cdot (-x^2) + (-3x^5y^2) \cdot (6y) = $
$= -15x^{5+3}y^{2+5} - 6x^{5+4}y^{2+3} + 9x^{5+2}y^{2+3} + 3x^{5+2}y^2 - 18x^5y^{2+1} = $
$= -15x^8y^7 - 6x^9y^5 + 9x^7y^5 + 3x^7y^2 - 18x^5y^3$
Приведем многочлен к стандартному виду, расположив его члены в порядке убывания степени переменной $x$:
$-6x^9y^5 - 15x^8y^7 + 9x^7y^5 + 3x^7y^2 - 18x^5y^3$
Ответ: $-6x^9y^5 - 15x^8y^7 + 9x^7y^5 + 3x^7y^2 - 18x^5y^3$.

б) Умножим одночлен $0,3x^4y^3$ на каждый член многочлена в скобках:
$0,3x^4y^3(2x^3y^3 - 3x^2y + 5xy^2 - 7x + 2y) = $
$= (0,3x^4y^3) \cdot (2x^3y^3) + (0,3x^4y^3) \cdot (-3x^2y) + (0,3x^4y^3) \cdot (5xy^2) + (0,3x^4y^3) \cdot (-7x) + (0,3x^4y^3) \cdot (2y) = $
$= 0,6x^{4+3}y^{3+3} - 0,9x^{4+2}y^{3+1} + 1,5x^{4+1}y^{3+2} - 2,1x^{4+1}y^3 + 0,6x^4y^{3+1} = $
$= 0,6x^7y^6 - 0,9x^6y^4 + 1,5x^5y^5 - 2,1x^5y^3 + 0,6x^4y^4$
Полученный многочлен уже записан в стандартном виде (члены упорядочены по убыванию степени $x$).
Ответ: $0,6x^7y^6 - 0,9x^6y^4 + 1,5x^5y^5 - 2,1x^5y^3 + 0,6x^4y^4$.

в) Умножим одночлен $-4x^2y^3$ на каждый член многочлена в скобках:
$-4x^2y^3(2x^3y - 5x^2y^3 + 3x^2 - 2y) = $
$= (-4x^2y^3) \cdot (2x^3y) + (-4x^2y^3) \cdot (-5x^2y^3) + (-4x^2y^3) \cdot (3x^2) + (-4x^2y^3) \cdot (-2y) = $
$= -8x^{2+3}y^{3+1} + 20x^{2+2}y^{3+3} - 12x^{2+2}y^3 + 8x^2y^{3+1} = $
$= -8x^5y^4 + 20x^4y^6 - 12x^4y^3 + 8x^2y^4$
Полученный многочлен записан в стандартном виде.
Ответ: $-8x^5y^4 + 20x^4y^6 - 12x^4y^3 + 8x^2y^4$.

г) Умножим одночлен $2x^3y$ на каждый член многочлена в скобках:
$2x^3y(3x^2y^3 - 7xy^2 - 4xy + x - 3y) = $
$= (2x^3y) \cdot (3x^2y^3) + (2x^3y) \cdot (-7xy^2) + (2x^3y) \cdot (-4xy) + (2x^3y) \cdot (x) + (2x^3y) \cdot (-3y) = $
$= 6x^{3+2}y^{1+3} - 14x^{3+1}y^{1+2} - 8x^{3+1}y^{1+1} + 2x^{3+1}y - 6x^3y^{1+1} = $
$= 6x^5y^4 - 14x^4y^3 - 8x^4y^2 + 2x^4y - 6x^3y^2$
Полученный многочлен записан в стандартном виде.
Ответ: $6x^5y^4 - 14x^4y^3 - 8x^4y^2 + 2x^4y - 6x^3y^2$.