Номер 10.13, страница 42 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10.13. Выполните деление многочлена на одночлен:

а) $(3x^6 - 2x^2) : x;$

б) $(4c^5 - 5c^2) : (-5c^2);$

В) $(2a^3b^4 - a^4b^3) : (a^3b^3);$

Г) $(7m^3n^2 - 2m^2n^2) : (-mn).$

а) Чтобы разделить многочлен на одночлен, необходимо каждый член многочлена разделить на этот одночлен. В данном случае делим $(3x^6 - 2x^2)$ на $x$.

$(3x^6 - 2x^2) : x = \frac{3x^6 - 2x^2}{x} = \frac{3x^6}{x} - \frac{2x^2}{x}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$\frac{3x^6}{x} = 3x^{6-1} = 3x^5$

$\frac{2x^2}{x} = 2x^{2-1} = 2x$

Таким образом, результат деления равен $3x^5 - 2x$.

Ответ: $3x^5 - 2x$

б) Выполним деление многочлена $(4c^5 - 5c^2)$ на одночлен $(-5c^2)$. Разделим каждый член многочлена на делитель:

$(4c^5 - 5c^2) : (-5c^2) = \frac{4c^5}{-5c^2} + \frac{-5c^2}{-5c^2}$

Разделим каждый член по отдельности:

$\frac{4c^5}{-5c^2} = -\frac{4}{5}c^{5-2} = -\frac{4}{5}c^3$

$\frac{-5c^2}{-5c^2} = 1$

Следовательно, результат: $-\frac{4}{5}c^3 + 1$.

Ответ: $1 - \frac{4}{5}c^3$

в) Выполним деление многочлена $(2a^3b^4 - a^4b^3)$ на одночлен $(a^3b^3)$.

$(2a^3b^4 - a^4b^3) : (a^3b^3) = \frac{2a^3b^4}{a^3b^3} - \frac{a^4b^3}{a^3b^3}$

Применяем правило деления степеней для каждой переменной:

$\frac{2a^3b^4}{a^3b^3} = 2 \cdot a^{3-3} \cdot b^{4-3} = 2a^0b^1 = 2 \cdot 1 \cdot b = 2b$

$\frac{a^4b^3}{a^3b^3} = a^{4-3} \cdot b^{3-3} = a^1b^0 = a \cdot 1 = a$

В результате получаем: $2b - a$.

Ответ: $2b - a$

г) Разделим многочлен $(7m^3n^2 - 2m^2n^2)$ на одночлен $(-mn)$.

$(7m^3n^2 - 2m^2n^2) : (-mn) = \frac{7m^3n^2}{-mn} + \frac{-2m^2n^2}{-mn}$

Выполним деление для каждого члена, помня, что при делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным, а при делении отрицательного на отрицательное — положительным:

$\frac{7m^3n^2}{-mn} = -7 \cdot m^{3-1} \cdot n^{2-1} = -7m^2n$

$\frac{-2m^2n^2}{-mn} = 2 \cdot m^{2-1} \cdot n^{2-1} = 2mn$

Сложив результаты, получаем: $-7m^2n + 2mn$.

Ответ: $-7m^2n + 2mn$