Номер 11.24, страница 47 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.24*. Упростите выражение:

a) $(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-(a-1)(a-2)(a+6)(a+7);$

б) $(b-2)(b-3)(b-4)(b-5)-(b+1)(b+2)(b-8)(b-9).$

а) $(a+1)(a+2)(a+3)(a+4) - (a-1)(a-2)(a+6)(a+7)$

Для упрощения данного выражения сгруппируем множители таким образом, чтобы при их попарном перемножении получались одинаковые выражения для первых двух членов (с $a^2$ и $a$). Для этого суммы свободных членов в парах скобок должны быть равны.

В первом произведении $(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)$ группируем $(a+1)$ с $(a+4)$ (сумма свободных членов $1+4=5$) и $(a+2)$ с $(a+3)$ (сумма $2+3=5$):
$(a+1)(a+4) = a^2 + 4a + a + 4 = a^2 + 5a + 4$
$(a+2)(a+3) = a^2 + 3a + 2a + 6 = a^2 + 5a + 6$

Во втором произведении $(a-1)(a-2)(a+6)(a+7)$ группируем $(a-1)$ с $(a+6)$ (сумма $-1+6=5$) и $(a-2)$ с $(a+7)$ (сумма $-2+7=5$):
$(a-1)(a+6) = a^2 + 6a - a - 6 = a^2 + 5a - 6$
$(a-2)(a+7) = a^2 + 7a - 2a - 14 = a^2 + 5a - 14$

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:
$(a^2 + 5a + 4)(a^2 + 5a + 6) - (a^2 + 5a - 6)(a^2 + 5a - 14)$

Сделаем замену переменной. Пусть $x = a^2 + 5a$. Тогда выражение примет вид:
$(x + 4)(x + 6) - (x - 6)(x - 14)$

Раскроем скобки:
$(x^2 + 6x + 4x + 24) - (x^2 - 14x - 6x + 84)$
$= (x^2 + 10x + 24) - (x^2 - 20x + 84)$

Упростим полученное выражение:
$x^2 + 10x + 24 - x^2 + 20x - 84 = 30x - 60$

Теперь выполним обратную замену $x = a^2 + 5a$:
$30(a^2 + 5a) - 60 = 30a^2 + 150a - 60$

Ответ: $30a^2 + 150a - 60$.

б) $(b-2)(b-3)(b-4)(b-5) - (b+1)(b+2)(b-8)(b-9)$

Поступим аналогично, сгруппировав множители для получения одинакового выражения вида $b^2+kb$.

В первом произведении $(b-2)(b-3)(b-4)(b-5)$ группируем $(b-2)$ с $(b-5)$ (сумма свободных членов $-2-5=-7$) и $(b-3)$ с $(b-4)$ (сумма $-3-4=-7$):
$(b-2)(b-5) = b^2 - 5b - 2b + 10 = b^2 - 7b + 10$
$(b-3)(b-4) = b^2 - 4b - 3b + 12 = b^2 - 7b + 12$

Во втором произведении $(b+1)(b+2)(b-8)(b-9)$ группируем $(b+1)$ с $(b-8)$ (сумма $1-8=-7$) и $(b+2)$ с $(b-9)$ (сумма $2-9=-7$):
$(b+1)(b-8) = b^2 - 8b + b - 8 = b^2 - 7b - 8$
$(b+2)(b-9) = b^2 - 9b + 2b - 18 = b^2 - 7b - 18$

Перепишем исходное выражение:
$(b^2 - 7b + 10)(b^2 - 7b + 12) - (b^2 - 7b - 8)(b^2 - 7b - 18)$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = b^2 - 7b$. Тогда выражение примет вид:
$(y + 10)(y + 12) - (y - 8)(y - 18)$

Раскроем скобки:
$(y^2 + 12y + 10y + 120) - (y^2 - 18y - 8y + 144)$
$= (y^2 + 22y + 120) - (y^2 - 26y + 144)$

Упростим полученное выражение:
$y^2 + 22y + 120 - y^2 + 26y - 144 = 48y - 24$

Выполним обратную замену $y = b^2 - 7b$:
$48(b^2 - 7b) - 24 = 48b^2 - 336b - 24$

Ответ: $48b^2 - 336b - 24$.