Номер 12.6, страница 48 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.6. Замените $*$ одночленами так, чтобы полученное равенство стало тождеством:

а) $(*+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$;

б) $(*-c)^2 = b^2 - 2bc + c^2$;

в) $(d+*)^2 = * + 6d + 9;

г) $(m-*)^2 = * - 10m + 25;

д) $(c+*)^2 = *^2 + * + 1;

е) $(a-*)^2 = *^2 - * + 4.

а) В данном равенстве правая часть $a^2 + 2ab + b^2$ является полным квадратом суммы одночленов $a$ и $b$. Эта формула известна как квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Сравнивая левую часть $(∗ + b)^2$ с формулой $(a+b)^2$, мы видим, что на месте звёздочки должен стоять одночлен $a$. Таким образом, равенство принимает вид $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
Ответ: $a$.

б) Правая часть равенства $b^2 - 2bc + c^2$ является полным квадратом разности одночленов $b$ и $c$. Это формула квадрата разности: $(b-c)^2 = b^2 - 2bc + c^2$. Сравнивая левую часть $(∗ - c)^2$ с формулой $(b-c)^2$, заключаем, что вместо звёздочки должен стоять одночлен $b$. Тождество: $(b-c)^2 = b^2-2bc+c^2$.
Ответ: $b$.

в) Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$. В левой части $(d + ∗)^2$ у нас есть первый член $d$. Раскроем скобки, обозначив звёздочку как $y$: $(d+y)^2=d^2+2dy+y^2$. Теперь сравним это выражение с правой частью $∗ + 6d + 9$. Приравнивая соответствующие члены, получаем: $y^2 = 9$, откуда $y=3$. Удвоенное произведение $2dy$ должно быть равно $6d$, что подтверждает наш выбор: $2d \cdot 3 = 6d$. Оставшийся член $d^2$ соответствует второй звёздочке в правой части. Таким образом, первая звёздочка – это $3$, а вторая – $d^2$. Тождество: $(d+3)^2 = d^2+6d+9$.
Ответ: первая $∗$ — это $3$, вторая $∗$ — это $d^2$.

г) Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$. В левой части $(m - ∗)^2$ первый член равен $m$. Обозначим звёздочку как $y$: $(m-y)^2=m^2-2my+y^2$. Сравним это с правой частью $∗ - 10m + 25$. Приравнивая члены, видим, что $y^2 = 25$, значит, $y=5$. Удвоенное произведение со знаком минус $-2my$ должно быть равно $-10m$, что выполняется при $y=5$: $-2m \cdot 5 = -10m$. Второй член в правой части, $∗$, должен быть равен $m^2$. Итак, первая звёздочка – $5$, вторая – $m^2$. Тождество: $(m-5)^2 = m^2-10m+25$.
Ответ: первая $∗$ — это $5$, вторая $∗$ — это $m^2$.

д) В этом примере $(c + ∗)^2 = ∗^2 + ∗ + 1$ три звёздочки, которые могут быть разными одночленами. Будем исходить из формулы квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$. В правой части мы видим член $+1$. Это, скорее всего, квадрат второго слагаемого в скобках. Если $y^2=1$, то $y=1$. Тогда левая часть принимает вид $(c+1)^2$. Раскроем скобки: $(c+1)^2 = c^2+2c \cdot 1+1^2 = c^2+2c+1$. Теперь сопоставим это с правой частью $∗^2 + ∗ + 1$. Очевидно, что первая звёздочка в правой части соответствует $c$, а вторая звёздочка — $2c$. Получаем тождество: $(c+1)^2 = c^2+2c+1$.
Ответ: первая $∗$ (в скобках) — это $1$, вторая $∗$ (в правой части) — это $c$, третья $∗$ — это $2c$.

е) Рассматриваем тождество $(a - ∗)^2 = ∗^2 - ∗ + 4$, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$. Член $+4$ в правой части, вероятно, является квадратом вычитаемого. Если $y^2=4$, то $y=2$. Тогда левая часть принимает вид $(a-2)^2$. Раскрыв скобки, получаем: $(a-2)^2 = a^2-2a \cdot 2+2^2=a^2-4a+4$. Сравниваем это с правой частью $∗^2 - ∗ + 4$. Ясно, что первая звёздочка в правой части должна быть $a$, а вторая, после знака минус, должна быть $4a$. Таким образом, тождество выглядит как $(a-2)^2 = a^2-4a+4$.
Ответ: первая $∗$ (в скобках) — это $2$, вторая $∗$ (в правой части) — это $a$, третья $∗$ — это $4a$.