Номер 12.13, страница 50 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.13. Выберите выражения, тождественно равные выражению $(-3a+b)^2$:

а) $(-3a-b)^2$;

б) $(3a-b)^2$;

в) $(3a+b)^2$;

г) $(b-3a)^2$;

д) $(-b+3a)^2$;

е) $(-b-3a)^2$.

Чтобы найти выражения, тождественно равные $(-3a + b)^2$, мы будем использовать два основных алгебраических свойства:

1. Коммутативный закон сложения, который позволяет менять слагаемые местами: $x + y = y + x$.
2. Свойство квадрата, согласно которому квадраты противоположных чисел равны: $X^2 = (-X)^2$.

Применим эти свойства к исходному выражению $(-3a + b)^2$.

1. Поменяв слагаемые местами, получим: $(-3a + b)^2 = (b - 3a)^2$.

2. Умножив выражение в скобках на $-1$, получим: $(-3a + b)^2 = (-1 \cdot (-3a + b))^2 = (3a - b)^2$.

Таким образом, мы ищем выражения, которые можно привести к виду $(b - 3a)^2$ или $(3a - b)^2$. Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

а) $(-3a - b)^2$

Вынесем $-1$ за скобку внутри выражения под знаком квадрата: $(-3a - b) = -(3a + b)$. Тогда $(-3a - b)^2 = (-(3a + b))^2 = (3a + b)^2$. Это выражение не равно ни $(b - 3a)^2$, ни $(3a - b)^2$. Если раскрыть скобки, получим $9a^2 + 6ab + b^2$, в то время как исходное выражение $(-3a + b)^2 = 9a^2 - 6ab + b^2$.

Ответ: не равно.

б) $(3a - b)^2$

Как мы показали выше, это выражение тождественно равно исходному, так как основание степени $(3a - b)$ является произведением основания исходной степени $(-3a + b)$ и $-1$.

Ответ: равно.

в) $(3a + b)^2$

Это выражение мы уже рассматривали в пункте а). Оно не равно исходному.

Ответ: не равно.

г) $(b - 3a)^2$

Это выражение получается из исходного $(-3a + b)^2$ путем перестановки слагаемых под знаком квадрата, что является тождественным преобразованием. Следовательно, выражения равны.

Ответ: равно.

д) $(-b + 3a)^2$

Поменяем слагаемые местами внутри скобок: $(-b + 3a) = (3a - b)$. Таким образом, $(-b + 3a)^2 = (3a - b)^2$. Как мы выяснили в пункте б), это выражение тождественно равно исходному.

Ответ: равно.

е) $(-b - 3a)^2$

Вынесем $-1$ за скобку внутри квадрата: $(-b - 3a)^2 = (-(b + 3a))^2 = (b + 3a)^2$. Это выражение можно также записать как $(3a + b)^2$, которое, как было показано в пункте в), не равно исходному.

Ответ: не равно.