Номер 12.18, страница 50 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.18. Выполните возведение в квадрат:

а) $(ab-4)^2$;

б) $(-\frac{1}{2}m^2n+p)^2$;

в) $(-0,1xy^3+y^2)^2$;

г) $(a^2b-\frac{1}{4}b^2c^3)^2$;

д) $(abc+5d^2)^2$;

е) $(-\frac{2}{3}a^2b-3c^5)^2$.

Для решения данных примеров мы будем использовать формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:
Квадрат суммы: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$
Квадрат разности: $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$

а) Для выражения $(ab-4)^2$ используем формулу квадрата разности, где $x=ab$ и $y=4$.
$(ab-4)^2 = (ab)^2 - 2 \cdot (ab) \cdot 4 + 4^2 = a^2b^2 - 8ab + 16$.
Ответ: $a^2b^2 - 8ab + 16$.

б) Для выражения $(-\frac{1}{2}m^2n+p)^2$ используем формулу квадрата суммы, где $x=-\frac{1}{2}m^2n$ и $y=p$.
$(-\frac{1}{2}m^2n+p)^2 = (-\frac{1}{2}m^2n)^2 + 2 \cdot (-\frac{1}{2}m^2n) \cdot p + p^2 = (\frac{1}{4}m^4n^2) - m^2np + p^2$.
Ответ: $\frac{1}{4}m^4n^2 - m^2np + p^2$.

в) Для выражения $(-0,1xy^3 + y^2)^2$ удобнее сначала поменять слагаемые местами: $(y^2 - 0,1xy^3)^2$. Теперь используем формулу квадрата разности, где $x=y^2$ и $y=0,1xy^3$.
$(y^2 - 0,1xy^3)^2 = (y^2)^2 - 2 \cdot y^2 \cdot (0,1xy^3) + (0,1xy^3)^2 = y^4 - 0,2xy^5 + 0,01x^2y^6$.
Для стандартного вида многочлена запишем его в порядке убывания степеней $x$: $0,01x^2y^6 - 0,2xy^5 + y^4$.
Ответ: $0,01x^2y^6 - 0,2xy^5 + y^4$.

г) Для выражения $(a^2b - \frac{1}{4}b^2c^3)^2$ используем формулу квадрата разности, где $x=a^2b$ и $y=\frac{1}{4}b^2c^3$.
$(a^2b - \frac{1}{4}b^2c^3)^2 = (a^2b)^2 - 2 \cdot (a^2b) \cdot (\frac{1}{4}b^2c^3) + (\frac{1}{4}b^2c^3)^2 = a^4b^2 - \frac{2}{4}a^2b^3c^3 + \frac{1}{16}b^4c^6 = a^4b^2 - \frac{1}{2}a^2b^3c^3 + \frac{1}{16}b^4c^6$.
Ответ: $a^4b^2 - \frac{1}{2}a^2b^3c^3 + \frac{1}{16}b^4c^6$.

д) Для выражения $(abc + 5d^2)^2$ используем формулу квадрата суммы, где $x=abc$ и $y=5d^2$.
$(abc + 5d^2)^2 = (abc)^2 + 2 \cdot (abc) \cdot (5d^2) + (5d^2)^2 = a^2b^2c^2 + 10abcd^2 + 25d^4$.
Ответ: $a^2b^2c^2 + 10abcd^2 + 25d^4$.

е) В выражении $(-\frac{2}{3}a^2b - 3c^5)^2$ можно вынести общий знак минус за скобки: $( -(\frac{2}{3}a^2b + 3c^5) )^2$. Так как $(-z)^2 = z^2$, выражение равносильно $(\frac{2}{3}a^2b + 3c^5)^2$.
Теперь используем формулу квадрата суммы, где $x=\frac{2}{3}a^2b$ и $y=3c^5$.
$(\frac{2}{3}a^2b + 3c^5)^2 = (\frac{2}{3}a^2b)^2 + 2 \cdot (\frac{2}{3}a^2b) \cdot (3c^5) + (3c^5)^2 = \frac{4}{9}a^4b^2 + 4a^2bc^5 + 9c^{10}$.
Ответ: $\frac{4}{9}a^4b^2 + 4a^2bc^5 + 9c^{10}$.