Номер 12.9, страница 49 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.9. Представьте в виде многочлена стандартного вида:

а) $ (3a + 1)(3a - 1) $;

б) $ (2a - b)(2a + b) $;

в) $ (4x + y)(4x - y) $;

г) $ (m - 7n)(7n + m) $;

д) $ (5a + b)(b - 5a) $;

е) $ (1 - 4d)(4d + 1) $;

ж) $ (5m + 4n)(4n - 5m) $;

з) $ (2x - 9y)(9y + 2x) $.

а) Для того чтобы представить произведение $(3a + 1)(3a - 1)$ в виде многочлена, воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.
В данном случае $x = 3a$ и $y = 1$.
Подставим эти значения в формулу:
$(3a + 1)(3a - 1) = (3a)^2 - 1^2 = 9a^2 - 1$.
Ответ: $9a^2 - 1$.

б) Выражение $(2a - b)(2a + b)$ является произведением разности и суммы двух выражений, поэтому применяем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
Здесь $x = 2a$ и $y = b$.
Получаем:
$(2a - b)(2a + b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$.
Ответ: $4a^2 - b^2$.

в) Для выражения $(4x + y)(4x - y)$ используем ту же формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.
Здесь $x = 4x$ и $y = y$.
Выполняем преобразование:
$(4x + y)(4x - y) = (4x)^2 - y^2 = 16x^2 - y^2$.
Ответ: $16x^2 - y^2$.

г) В выражении $(m - 7n)(7n + m)$ поменяем слагаемые во второй скобке местами, чтобы привести его к стандартному виду для формулы: $(7n + m) = (m + 7n)$.
Получаем $(m - 7n)(m + 7n)$. Применяем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x = m$ и $y = 7n$.
$(m - 7n)(m + 7n) = m^2 - (7n)^2 = m^2 - 49n^2$.
Ответ: $m^2 - 49n^2$.

д) В выражении $(5a + b)(b - 5a)$ представим первую скобку как $(b + 5a)$.
Получаем произведение $(b + 5a)(b - 5a)$, которое соответствует формуле разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x = b$ и $y = 5a$.
$(b + 5a)(b - 5a) = b^2 - (5a)^2 = b^2 - 25a^2$.
Ответ: $b^2 - 25a^2$.

е) Выражение $(1 - 4d)(4d + 1)$ преобразуем, поменяв местами слагаемые во второй скобке: $(4d + 1) = (1 + 4d)$.
Получим $(1 - 4d)(1 + 4d)$. Используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x = 1$ и $y = 4d$.
$(1 - 4d)(1 + 4d) = 1^2 - (4d)^2 = 1 - 16d^2$.
Ответ: $1 - 16d^2$.

ж) В выражении $(5m + 4n)(4n - 5m)$ преобразуем первую скобку: $(5m + 4n) = (4n + 5m)$.
Получаем произведение $(4n + 5m)(4n - 5m)$. Применяем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x = 4n$ и $y = 5m$.
$(4n + 5m)(4n - 5m) = (4n)^2 - (5m)^2 = 16n^2 - 25m^2$.
Ответ: $16n^2 - 25m^2$.

з) В выражении $(2x - 9y)(9y + 2x)$ поменяем слагаемые во второй скобке: $(9y + 2x) = (2x + 9y)$.
Получаем $(2x - 9y)(2x + 9y)$, что соответствует формуле разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x = 2x$ и $y = 9y$.
$(2x - 9y)(2x + 9y) = (2x)^2 - (9y)^2 = 4x^2 - 81y^2$.
Ответ: $4x^2 - 81y^2$.