Номер 11.23, страница 47 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

$(x^4 + y^4)(x^4 + y^4 - 2xy) - (x^4 + y^4 - 6xy)(x^4 + y^4 + 4xy)$, выбрав рациональный способ преобразований.

Для рационального упрощения данного выражения воспользуемся методом введения новой переменной. Заметим, что выражение $(x^4 + y^4)$ является общей частью в нескольких множителях. Обозначим это выражение переменной $a$.

Пусть $a = x^4 + y^4$.

Теперь перепишем исходное выражение $(x^4 + y^4)(x^4 + y^4 - 2xy) - (x^4 + y^4 - 6xy)(x^4 + y^4 + 4xy)$, подставив вместо $(x^4 + y^4)$ переменную $a$:

$a(a - 2xy) - (a - 6xy)(a + 4xy)$

Далее раскроем скобки в полученном выражении. Начнем с первого произведения:

$a(a - 2xy) = a^2 - 2axy$

Теперь раскроем второе произведение, умножив многочлен на многочлен:

$(a - 6xy)(a + 4xy) = a \cdot a + a \cdot 4xy - 6xy \cdot a - 6xy \cdot 4xy = a^2 + 4axy - 6axy - 24(xy)^2 = a^2 - 2axy - 24x^2y^2$

Подставим полученные результаты обратно в выражение:

$(a^2 - 2axy) - (a^2 - 2axy - 24x^2y^2)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$a^2 - 2axy - a^2 + 2axy + 24x^2y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-2axy + 2axy) + 24x^2y^2 = 0 + 0 + 24x^2y^2 = 24x^2y^2$

В результате упрощений все члены, содержащие переменную $a$, сократились. Таким образом, итоговый результат не зависит от $a$ и равен $24x^2y^2$.

Ответ: $24x^2y^2$