Номер 12.34, страница 53 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.34. Замените * одночленами так, чтобы полученное равенство стало тождеством:

а) $*^2 + * + 1 = (4m + 1)^2$;

б) $a^2 - 4ab + 4b^2 = (* - 2b)^2$;

в) $* + 12xy + y^2 = (* + *)^2$.

а)

Чтобы равенство $* + * + 1 = (4m + 1)^2$ стало тождеством, необходимо раскрыть скобки в правой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a=4m$ и $b=1$.

$(4m + 1)^2 = (4m)^2 + 2 \cdot 4m \cdot 1 + 1^2 = 16m^2 + 8m + 1$.

Теперь сравним полученное выражение с левой частью равенства: $16m^2 + 8m + 1 = * + * + 1$.

Отсюда видно, что первый одночлен (*) равен $16m^2$, а второй (*) равен $8m$.

Тождество выглядит так: $16m^2 + 8m + 1 = (4m + 1)^2$.

Ответ: первая * равна $16m^2$, вторая * равна $8m$.

б)

Рассмотрим равенство $a^2 - 4ab + 4b^2 = (* - 2b)^2$. Левая часть представляет собой полный квадрат разности, так как соответствует формуле $A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2$.

В левой части $a^2 - 4ab + 4b^2$ имеем:

Первый член в квадрате: $A^2 = a^2$, значит $A = a$.

Второй член в квадрате: $B^2 = 4b^2 = (2b)^2$, значит $B = 2b$.

Удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot a \cdot (2b) = 4ab$, что соответствует среднему члену.

Следовательно, левую часть можно свернуть в квадрат разности: $a^2 - 4ab + 4b^2 = (a - 2b)^2$.

Сравнивая это с исходным равенством $a^2 - 4ab + 4b^2 = (* - 2b)^2$, мы видим, что одночлен (*) должен быть равен $a$.

Ответ: * = $a$.

в)

В равенстве $* + 12xy + y^2 = (* + *)^2$ левая часть является многочленом, а правая — квадратом суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

Сравним левую часть $* + 12xy + y^2$ с развернутой формулой $A^2 + 2AB + B^2$.

Мы видим средний член $2AB = 12xy$ и один из крайних членов, который может быть либо $A^2$, либо $B^2$. Пусть $B^2 = y^2$, тогда $B = y$.

Подставим $B=y$ в выражение для среднего члена: $2 \cdot A \cdot y = 12xy$.

Выразим отсюда A: $A = \frac{12xy}{2y} = 6x$.

Теперь мы можем найти недостающий член в левой части, который равен $A^2$: $A^2 = (6x)^2 = 36x^2$.

Таким образом, первая звездочка (*) в левой части равна $36x^2$.

В правой части равенства в скобках должны стоять одночлены $A$ и $B$, то есть $6x$ и $y$.

Получаем тождество: $36x^2 + 12xy + y^2 = (6x + y)^2$.

Ответ: первая * равна $36x^2$, вторая * равна $6x$, третья * равна $y$ (или наоборот, $y$ и $6x$).