Номер 12.39, страница 53 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.39. Выделите квадрат двучлена в выражении:

а) $a^2 - 6a + 11;$

б) $a^2 + 8a + 20;$

в) $a^2 - 2a - 7;$

г) $a^2 + 10a - 1.$

Чтобы выделить квадрат двучлена, мы используем формулы квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ или квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$. Мы дополняем выражение до полного квадрата, добавляя и вычитая необходимое число.

а) $a^2 - 6a + 11$

В данном выражении первые два члена $a^2 - 6a$ напоминают начало формулы квадрата разности. Здесь первый член $x=a$. Удвоенное произведение первого члена на второй равно $6a$, то есть $2 \cdot a \cdot y = 6a$, откуда находим второй член $y=3$.

Для получения полного квадрата $(a-3)^2$ нам необходим член $y^2 = 3^2 = 9$.

Представим исходное выражение, добавив и вычтя 9, чтобы не изменить его значение:

$a^2 - 6a + 11 = (a^2 - 6a + 9) - 9 + 11$

Теперь группируем первые три слагаемых, которые образуют квадрат разности, и вычисляем оставшуюся часть:

$(a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2) + (11 - 9) = (a - 3)^2 + 2$

Ответ: $(a - 3)^2 + 2$

б) $a^2 + 8a + 20$

В этом выражении мы будем использовать формулу квадрата суммы. Первый член $x=a$. Удвоенное произведение $2 \cdot a \cdot y = 8a$, откуда второй член $y=4$.

Для полного квадрата $(a+4)^2$ нам нужен член $y^2 = 4^2 = 16$.

Добавим и вычтем 16 в выражении:

$a^2 + 8a + 20 = (a^2 + 8a + 16) - 16 + 20$

Группируем и упрощаем:

$(a^2 + 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2) + (20 - 16) = (a + 4)^2 + 4$

Ответ: $(a + 4)^2 + 4$

в) $a^2 - 2a - 7$

Используем формулу квадрата разности. Первый член $x=a$. Удвоенное произведение $2 \cdot a \cdot y = 2a$, откуда второй член $y=1$.

Для полного квадрата $(a-1)^2$ нам нужен член $y^2 = 1^2 = 1$.

Добавим и вычтем 1 в выражении:

$a^2 - 2a - 7 = (a^2 - 2a + 1) - 1 - 7$

Группируем и упрощаем:

$(a^2 - 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2) + (-1 - 7) = (a - 1)^2 - 8$

Ответ: $(a - 1)^2 - 8$

г) $a^2 + 10a - 1$

Используем формулу квадрата суммы. Первый член $x=a$. Удвоенное произведение $2 \cdot a \cdot y = 10a$, откуда второй член $y=5$.

Для полного квадрата $(a+5)^2$ нам нужен член $y^2 = 5^2 = 25$.

Добавим и вычтем 25 в выражении:

$a^2 + 10a - 1 = (a^2 + 10a + 25) - 25 - 1$

Группируем и упрощаем:

$(a^2 + 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2) + (-25 - 1) = (a + 5)^2 - 26$

Ответ: $(a + 5)^2 - 26$