Номер 12.45, страница 54 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.45*. Найдите значение выражения:

a) $81x^2 + 4y^2 + 9x - 2y - 36xy + 5$, если $4,5x - y = 1,5$;

б) $49a^2 + 4b^2 + 7a + 2b + 28ab - 12$, если $3,5a + b = 2,5$.

а)

Дано выражение $81x^2 + 4y^2 + 9x - 2y - 36xy + 5$ и условие $4,5x - y = 1,5$.

Сгруппируем слагаемые в выражении, чтобы выделить полный квадрат. Обратим внимание на члены $81x^2$, $4y^2$ и $-36xy$.

$81x^2 = (9x)^2$

$4y^2 = (2y)^2$

$-36xy = -2 \cdot (9x) \cdot (2y)$

Эти три члена образуют формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Перегруппируем исходное выражение:

$(81x^2 - 36xy + 4y^2) + (9x - 2y) + 5$

Заменим первые три слагаемых на квадрат разности:

$(9x - 2y)^2 + (9x - 2y) + 5$

Теперь рассмотрим данное условие: $4,5x - y = 1,5$.

Умножим обе части этого уравнения на 2:

$2 \cdot (4,5x - y) = 2 \cdot 1,5$

$9x - 2y = 3$

Теперь мы можем подставить значение $3$ вместо выражения $(9x - 2y)$ в преобразованное исходное выражение.

Подставляем $3$ в выражение $(9x - 2y)^2 + (9x - 2y) + 5$:

$3^2 + 3 + 5 = 9 + 3 + 5 = 17$.

Ответ: 17

б)

Дано выражение $49a^2 + 4b^2 + 7a + 2b + 28ab - 12$ и условие $3,5a + b = 2,5$.

Сгруппируем слагаемые в выражении, чтобы выделить полный квадрат. Обратим внимание на члены $49a^2$, $4b^2$ и $28ab$.

$49a^2 = (7a)^2$

$4b^2 = (2b)^2$

$28ab = 2 \cdot (7a) \cdot (2b)$

Эти три члена образуют формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Перегруппируем исходное выражение:

$(49a^2 + 28ab + 4b^2) + (7a + 2b) - 12$

Заменим первые три слагаемых на квадрат суммы:

$(7a + 2b)^2 + (7a + 2b) - 12$

Теперь рассмотрим данное условие: $3,5a + b = 2,5$.

Умножим обе части этого уравнения на 2:

$2 \cdot (3,5a + b) = 2 \cdot 2,5$

$7a + 2b = 5$

Теперь мы можем подставить значение $5$ вместо выражения $(7a + 2b)$ в преобразованное исходное выражение.

Подставляем $5$ в выражение $(7a + 2b)^2 + (7a + 2b) - 12$:

$5^2 + 5 - 12 = 25 + 5 - 12 = 18$.

Ответ: 18