Номер 12.44, страница 54 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.44*. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:

а) $((2x-5)^2+(3x+4)^2)^2$;

б) $((7x+2y)^2+(5x-6y)^2)^2$;

в) $((6-8x)^2-(9x-4)^2)^2$;

г) $((3x+7y)^2-(4x-5y)^2)^2$.

а) Чтобы преобразовать выражение $(2x-5)^2 + (3x+4)^2$ в многочлен стандартного вида, используем формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Раскроем каждую скобку отдельно:
$(2x-5)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25$
$(3x+4)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^2 = 9x^2 + 24x + 16$
Теперь сложим полученные многочлены:
$(4x^2 - 20x + 25) + (9x^2 + 24x + 16) = 4x^2 - 20x + 25 + 9x^2 + 24x + 16$
Приведем подобные слагаемые, группируя их по степеням переменной $x$:
$(4x^2 + 9x^2) + (-20x + 24x) + (25 + 16) = 13x^2 + 4x + 41$
Ответ: $13x^2 + 4x + 41$

б) Преобразуем выражение $(7x+2y)^2 + (5x-6y)^2$, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности.
Раскроем скобки:
$(7x+2y)^2 = (7x)^2 + 2 \cdot 7x \cdot 2y + (2y)^2 = 49x^2 + 28xy + 4y^2$
$(5x-6y)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 6y + (6y)^2 = 25x^2 - 60xy + 36y^2$
Сложим результаты:
$(49x^2 + 28xy + 4y^2) + (25x^2 - 60xy + 36y^2) = 49x^2 + 28xy + 4y^2 + 25x^2 - 60xy + 36y^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(49x^2 + 25x^2) + (28xy - 60xy) + (4y^2 + 36y^2) = 74x^2 - 32xy + 40y^2$
Ответ: $74x^2 - 32xy + 40y^2$

в) Чтобы преобразовать выражение $(6-8x)^2 - (9x-4)^2$, применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Раскроем скобки:
$(6-8x)^2 = 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8x + (8x)^2 = 36 - 96x + 64x^2$
$(9x-4)^2 = (9x)^2 - 2 \cdot 9x \cdot 4 + 4^2 = 81x^2 - 72x + 16$
Теперь выполним вычитание. Важно помнить, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:
$(36 - 96x + 64x^2) - (81x^2 - 72x + 16) = 36 - 96x + 64x^2 - 81x^2 + 72x - 16$
Приведем подобные слагаемые и запишем многочлен в стандартном виде (по убыванию степеней $x$):
$(64x^2 - 81x^2) + (-96x + 72x) + (36 - 16) = -17x^2 - 24x + 20$
Ответ: $-17x^2 - 24x + 20$

г) Преобразуем выражение $(3x+7y)^2 - (4x-5y)^2$.
Сначала раскроем скобки по формулам квадрата суммы и квадрата разности:
$(3x+7y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 7y + (7y)^2 = 9x^2 + 42xy + 49y^2$
$(4x-5y)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 5y + (5y)^2 = 16x^2 - 40xy + 25y^2$
Выполним вычитание полученных многочленов:
$(9x^2 + 42xy + 49y^2) - (16x^2 - 40xy + 25y^2) = 9x^2 + 42xy + 49y^2 - 16x^2 + 40xy - 25y^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(9x^2 - 16x^2) + (42xy + 40xy) + (49y^2 - 25y^2) = -7x^2 + 82xy + 24y^2$
Ответ: $-7x^2 + 82xy + 24y^2$