Номер 12.47, страница 54 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.47*. Найдите значение выражения:

a) $(x-b+1)^2 + 2(b-x-1)(x+b+1) + (x+b+1)^2$ при $b=0,4$ и $x=-4,019$.

б) $(y-c+3)^2 + 2(c-y-3)(y+c+3) + (y+c+3)^2$ при $c=0,2$ и $y=-8,029$.

а)

Проанализируем данное выражение: $(x - b + 1)^2 + 2(b - x - 1)(x + b + 1) + (x + b + 1)^2$.

Оно напоминает формулу квадрата суммы $A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$ или квадрата разности $A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2$.

Преобразуем средний член выражения $2(b - x - 1)(x + b + 1)$. Вынесем знак минус из первой скобки:

$b - x - 1 = -( -b + x + 1) = -(x - b + 1)$.

Теперь подставим это преобразование обратно в исходное выражение:

$(x - b + 1)^2 - 2(x - b + 1)(x + b + 1) + (x + b + 1)^2$.

Это в точности соответствует формуле квадрата разности $(A - B)^2$, где:

$A = (x - b + 1)$

$B = (x + b + 1)$

Свернем выражение по формуле:

$((x - b + 1) - (x + b + 1))^2$

Раскроем внутренние скобки и упростим:

$(x - b + 1 - x - b - 1)^2 = ((x - x) + (-b - b) + (1 - 1))^2 = (-2b)^2 = 4b^2$.

Как видим, значение выражения не зависит от $x$. Подставим значение $b = 0,4$ в полученный результат:

$4 \cdot (0,4)^2 = 4 \cdot 0,16 = 0,64$.

Ответ: $0,64$.

б)

Рассмотрим выражение: $(y - c + 3)^2 + 2(c - y - 3)(y + c + 3) + (y + c + 3)^2$.

Это выражение имеет аналогичную структуру, как и в предыдущем пункте. Преобразуем средний член, вынеся минус из первой скобки:

$c - y - 3 = -( -c + y + 3) = -(y - c + 3)$.

Подставим это в выражение:

$(y - c + 3)^2 - 2(y - c + 3)(y + c + 3) + (y + c + 3)^2$.

Это формула квадрата разности $(A - B)^2$, где:

$A = (y - c + 3)$

$B = (y + c + 3)$

Применим формулу для сворачивания выражения:

$((y - c + 3) - (y + c + 3))^2$

Упростим выражение в скобках:

$(y - c + 3 - y - c - 3)^2 = ((y - y) + (-c - c) + (3 - 3))^2 = (-2c)^2 = 4c^2$.

Значение выражения не зависит от $y$. Подставим значение $c = 0,2$:

$4 \cdot (0,2)^2 = 4 \cdot 0,04 = 0,16$.

Ответ: $0,16$.