Номер 12.41, страница 54 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.41*. Докажите, что выражение $c^2 - 2c + 12$ может принимать только положительные значения.

12.41*

Для доказательства того, что выражение $c^2 - 2c + 12$ принимает только положительные значения, преобразуем его методом выделения полного квадрата.

Заметим, что $c^2 - 2c$ являются первыми двумя членами формулы квадрата разности $(c-1)^2 = c^2 - 2c + 1$. Чтобы завершить квадрат, нам нужен член $+1$. Представим число 12 в исходном выражении как $1 + 11$:

$c^2 - 2c + 12 = c^2 - 2c + 1 + 11$

Теперь сгруппируем первые три члена, которые образуют полный квадрат:

$(c^2 - 2c + 1) + 11 = (c - 1)^2 + 11$

Проанализируем полученное выражение $(c - 1)^2 + 11$. Первое слагаемое, $(c-1)^2$, является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(c - 1)^2 \ge 0$ при любом значении $c$. Второе слагаемое — это положительное число 11.

Сумма неотрицательного числа ($(c-1)^2$) и положительного числа (11) всегда положительна. Наименьшее значение выражения достигается, когда $(c-1)^2$ принимает свое минимальное значение, равное 0 (это происходит при $c=1$). В этом случае значение всего выражения равно $0 + 11 = 11$.

Поскольку минимальное значение выражения равно 11, а $11 > 0$, то выражение $c^2 - 2c + 12$ всегда принимает положительные значения при любом $c$.

Ответ: Что и требовалось доказать.