Номер 12.42, страница 54 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.42*. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:

а) $ (a + b + c)^2 $;

б) $ (a + b - c)^2 $;

в) $ (a - 2b + c)^2 $;

г) $ (3a - 2b - c)^2 $;

д) $ (a + b)^4 $;

е) $ (a - b)^4 $.

а)

Чтобы преобразовать выражение $(a + b + c)^2$ в многочлен стандартного вида, можно сгруппировать слагаемые и применить формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Представим $(a+b)$ как один член выражения:

$((a + b) + c)^2 = (a+b)^2 + 2 \cdot (a+b) \cdot c + c^2$

Теперь раскроем скобки, сначала для $(a+b)^2$, а затем для $2(a+b)c$:

$(a^2 + 2ab + b^2) + (2ac + 2bc) + c^2$

Уберем скобки и приведем многочлен к стандартному виду, упорядочив члены:

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Это и есть искомый многочлен стандартного вида.

Ответ: $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.

б)

Для преобразования выражения $(a + b - c)^2$ можно применить тот же метод группировки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Пусть $x = (a+b)$ и $y=c$:

$((a + b) - c)^2 = (a+b)^2 - 2 \cdot (a+b) \cdot c + c^2$

Раскроем скобки:

$(a^2 + 2ab + b^2) - (2ac + 2bc) + c^2$

$a^2 + 2ab + b^2 - 2ac - 2bc + c^2$

Запишем результат в стандартном виде:

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc$

Ответ: $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc$.

в)

Для преобразования выражения $(a - 2b + c)^2$ удобно использовать обобщенную формулу квадрата трехчлена $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$.

В данном случае $x=a$, $y=-2b$, $z=c$. Подставим эти значения в формулу:

$(a + (-2b) + c)^2 = a^2 + (-2b)^2 + c^2 + 2 \cdot a \cdot (-2b) + 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot (-2b) \cdot c$

Выполним необходимые вычисления:

$a^2 + 4b^2 + c^2 - 4ab + 2ac - 4bc$

Полученный многочлен уже находится в стандартном виде.

Ответ: $a^2 + 4b^2 + c^2 - 4ab + 2ac - 4bc$.

г)

Преобразуем выражение $(3a - 2b - c)^2$, используя ту же общую формулу квадрата трехчлена.

Здесь $x=3a$, $y=-2b$, $z=-c$.

$(3a - 2b - c)^2 = (3a)^2 + (-2b)^2 + (-c)^2 + 2 \cdot (3a) \cdot (-2b) + 2 \cdot (3a) \cdot (-c) + 2 \cdot (-2b) \cdot (-c)$

Выполним вычисления и упростим выражение:

$9a^2 + 4b^2 + c^2 - 12ab - 6ac + 4bc$

Многочлен приведен к стандартному виду.

Ответ: $9a^2 + 4b^2 + c^2 - 12ab - 6ac + 4bc$.

д)

Чтобы преобразовать выражение $(a + b)^4$, представим его как квадрат квадрата:

$(a + b)^4 = ((a + b)^2)^2$

Сначала возведем в квадрат сумму в скобках:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Теперь полученный трехчлен $(a^2 + 2ab + b^2)$ возведем в квадрат, используя формулу для квадрата трехчлена, где $x=a^2$, $y=2ab$, $z=b^2$:

$(a^2 + 2ab + b^2)^2 = (a^2)^2 + (2ab)^2 + (b^2)^2 + 2(a^2)(2ab) + 2(a^2)(b^2) + 2(2ab)(b^2)$

Выполним вычисления:

$a^4 + 4a^2b^2 + b^4 + 4a^3b + 2a^2b^2 + 4ab^3$

Приведем подобные члены ($4a^2b^2$ и $2a^2b^2$):

$a^4 + 4a^3b + (4+2)a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

Ответ: $a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.

е)

Преобразуем выражение $(a - b)^4$ аналогично предыдущему пункту:

$(a - b)^4 = ((a - b)^2)^2$

Сначала раскроем квадрат разности:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Теперь возведем в квадрат полученный трехчлен $(a^2 - 2ab + b^2)$. Применим формулу квадрата трехчлена, где $x=a^2$, $y=-2ab$, $z=b^2$:

$(a^2 - 2ab + b^2)^2 = (a^2)^2 + (-2ab)^2 + (b^2)^2 + 2(a^2)(-2ab) + 2(a^2)(b^2) + 2(-2ab)(b^2)$

Выполним вычисления:

$a^4 + 4a^2b^2 + b^4 - 4a^3b + 2a^2b^2 - 4ab^3$

Приведем подобные члены ($4a^2b^2$ и $2a^2b^2$) и запишем многочлен в стандартном виде:

$a^4 - 4a^3b + (4+2)a^2b^2 - 4ab^3 + b^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$

Ответ: $a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$.