Номер 12.35, страница 53 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.35. Представьте многочлен в виде произведения:

а) $\frac{1}{9}a^2 - 36b^2$;

б) $0,25b^2 - \frac{1}{9}c^4$;

в) $36c^4 - \frac{4}{81}d^2$;

г) $0,16m^2n^2 - 1$;

д) $\frac{25}{49}x^6 - 9y^2$;

е) $0,01a^8 - \frac{1}{36}b^4$;

ж) $1 - \frac{9}{25}a^{12}$;

з) $0,09k^8 - \frac{16}{81}m^{14}$;

и) $49a^{10} - 0,64b^{12}$.

Для решения всех пунктов данной задачи мы будем использовать формулу сокращенного умножения, а именно разность квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

а) Представим многочлен $\frac{1}{9}a^2 - 36b^2$ в виде разности квадратов.
Первый член: $\frac{1}{9}a^2 = (\frac{1}{3}a)^2$.
Второй член: $36b^2 = (6b)^2$.
Таким образом, выражение принимает вид $(\frac{1}{3}a)^2 - (6b)^2$.
Применяя формулу разности квадратов, получаем:
$(\frac{1}{3}a - 6b)(\frac{1}{3}a + 6b)$.
Ответ: $(\frac{1}{3}a - 6b)(\frac{1}{3}a + 6b)$.

б) Представим многочлен $0,25b^2 - \frac{1}{9}c^4$ в виде разности квадратов.
Первый член: $0,25b^2 = (0,5b)^2$.
Второй член: $\frac{1}{9}c^4 = (\frac{1}{3}c^2)^2$.
Выражение можно записать как $(0,5b)^2 - (\frac{1}{3}c^2)^2$.
Применяя формулу, получаем:
$(0,5b - \frac{1}{3}c^2)(0,5b + \frac{1}{3}c^2)$.
Ответ: $(0,5b - \frac{1}{3}c^2)(0,5b + \frac{1}{3}c^2)$.

в) Представим многочлен $36c^4 - \frac{4}{81}d^2$ в виде разности квадратов.
Первый член: $36c^4 = (6c^2)^2$.
Второй член: $\frac{4}{81}d^2 = (\frac{2}{9}d)^2$.
Выражение можно записать как $(6c^2)^2 - (\frac{2}{9}d)^2$.
Применяя формулу, получаем:
$(6c^2 - \frac{2}{9}d)(6c^2 + \frac{2}{9}d)$.
Ответ: $(6c^2 - \frac{2}{9}d)(6c^2 + \frac{2}{9}d)$.

г) Представим многочлен $0,16m^2n^2 - 1$ в виде разности квадратов.
Первый член: $0,16m^2n^2 = (0,4mn)^2$.
Второй член: $1 = 1^2$.
Выражение можно записать как $(0,4mn)^2 - 1^2$.
Применяя формулу, получаем:
$(0,4mn - 1)(0,4mn + 1)$.
Ответ: $(0,4mn - 1)(0,4mn + 1)$.

д) Представим многочлен $\frac{25}{49}x^6 - 9y^2$ в виде разности квадратов.
Первый член: $\frac{25}{49}x^6 = (\frac{5}{7}x^3)^2$.
Второй член: $9y^2 = (3y)^2$.
Выражение можно записать как $(\frac{5}{7}x^3)^2 - (3y)^2$.
Применяя формулу, получаем:
$(\frac{5}{7}x^3 - 3y)(\frac{5}{7}x^3 + 3y)$.
Ответ: $(\frac{5}{7}x^3 - 3y)(\frac{5}{7}x^3 + 3y)$.

е) Представим многочлен $0,01a^8 - \frac{1}{36}b^4$ в виде разности квадратов.
Первый член: $0,01a^8 = (0,1a^4)^2$.
Второй член: $\frac{1}{36}b^4 = (\frac{1}{6}b^2)^2$.
Выражение можно записать как $(0,1a^4)^2 - (\frac{1}{6}b^2)^2$.
Применяя формулу, получаем:
$(0,1a^4 - \frac{1}{6}b^2)(0,1a^4 + \frac{1}{6}b^2)$.
Ответ: $(0,1a^4 - \frac{1}{6}b^2)(0,1a^4 + \frac{1}{6}b^2)$.

ж) Представим многочлен $1 - \frac{9}{25}a^{12}$ в виде разности квадратов.
Первый член: $1 = 1^2$.
Второй член: $\frac{9}{25}a^{12} = (\frac{3}{5}a^6)^2$.
Выражение можно записать как $1^2 - (\frac{3}{5}a^6)^2$.
Применяя формулу, получаем:
$(1 - \frac{3}{5}a^6)(1 + \frac{3}{5}a^6)$.
Ответ: $(1 - \frac{3}{5}a^6)(1 + \frac{3}{5}a^6)$.

з) Представим многочлен $0,09k^8 - \frac{16}{81}m^{14}$ в виде разности квадратов.
Первый член: $0,09k^8 = (0,3k^4)^2$.
Второй член: $\frac{16}{81}m^{14} = (\frac{4}{9}m^7)^2$.
Выражение можно записать как $(0,3k^4)^2 - (\frac{4}{9}m^7)^2$.
Применяя формулу, получаем:
$(0,3k^4 - \frac{4}{9}m^7)(0,3k^4 + \frac{4}{9}m^7)$.
Ответ: $(0,3k^4 - \frac{4}{9}m^7)(0,3k^4 + \frac{4}{9}m^7)$.

и) Представим многочлен $49a^{10} - 0,64b^{12}$ в виде разности квадратов.
Первый член: $49a^{10} = (7a^5)^2$.
Второй член: $0,64b^{12} = (0,8b^6)^2$.
Выражение можно записать как $(7a^5)^2 - (0,8b^6)^2$.
Применяя формулу, получаем:
$(7a^5 - 0,8b^6)(7a^5 + 0,8b^6)$.
Ответ: $(7a^5 - 0,8b^6)(7a^5 + 0,8b^6)$.