Номер 12.40, страница 53 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.40. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:

а) $(x + y)(x^2 + y^2)(y - x);$

б) $(2x^3 - y^3)(y^6 + 4x^6)(y^3 + 2x^3).$

а)

Дано выражение $(x + y)(x^2 + y^2)(y - x)$.

Для удобства вычислений перегруппируем множители:

$(x + y)(y - x)(x^2 + y^2)$

Заметим, что множитель $(y - x)$ можно представить как $-(x - y)$. Подставим это в выражение:

$(x + y)(-(x - y))(x^2 + y^2) = -(x + y)(x - y)(x^2 + y^2)$

Теперь воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Для первых двух скобок $(x + y)(x - y)$ получаем $x^2 - y^2$.

Выражение принимает вид:

$-(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$

Снова применим формулу разности квадратов, где в качестве $a$ выступает $x^2$, а в качестве $b$ выступает $y^2$:

$(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4$

Подставим результат обратно в выражение со знаком минус:

$-(x^4 - y^4) = -x^4 + y^4$

Приведем многочлен к стандартному виду, расположив член с положительным коэффициентом первым:

$y^4 - x^4$

Ответ: $y^4 - x^4$.

б)

Дано выражение $(2x^3 - y^3)(y^6 + 4x^6)(y^3 + 2x^3)$.

Перегруппируем множители для удобства:

$(2x^3 - y^3)(y^3 + 2x^3)(y^6 + 4x^6)$

От перемены мест слагаемых сумма не меняется, поэтому $(y^3 + 2x^3) = (2x^3 + y^3)$. Выражение приобретает вид:

$(2x^3 - y^3)(2x^3 + y^3)(y^6 + 4x^6)$

Применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ к первым двум скобкам. Здесь $a = 2x^3$ и $b = y^3$.

$(2x^3 - y^3)(2x^3 + y^3) = (2x^3)^2 - (y^3)^2 = 4x^6 - y^6$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(4x^6 - y^6)(y^6 + 4x^6)$

Снова изменим порядок слагаемых во второй скобке для наглядности: $(y^6 + 4x^6) = (4x^6 + y^6)$.

$(4x^6 - y^6)(4x^6 + y^6)$

Еще раз применяем формулу разности квадратов, где $a = 4x^6$ и $b = y^6$:

$(4x^6 - y^6)(4x^6 + y^6) = (4x^6)^2 - (y^6)^2 = 16x^{12} - y^{12}$

Полученный многочлен уже имеет стандартный вид.

Ответ: $16x^{12} - y^{12}$.