Номер 12.43, страница 54 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.43*. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:

a) $ (2x - 5y + 4m + 3n)(5y + 2x - 4m + 3n); $

б) $ (x + 3y - 2x^2 - 5y^3)(x - 3y + 2x^2 - 5y^3). $

а) Чтобы преобразовать выражение $(2x - 5y + 4m + 3n)(5y + 2x - 4m + 3n)$ в многочлен стандартного вида, заметим, что его можно упростить, если сгруппировать слагаемые. Переставим слагаемые во второй скобке для наглядности: $(2x + 5y - 4m + 3n)$.
Теперь сгруппируем слагаемые в обеих скобках так, чтобы выделить общую часть и различающуюся часть:
Первая скобка: $(2x + 3n) + (4m - 5y)$
Вторая скобка: $(2x + 3n) - (4m - 5y)$
Исходное выражение принимает вид:
$((2x + 3n) + (4m - 5y)) \cdot ((2x + 3n) - (4m - 5y))$
Это формула разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = 2x + 3n$ и $b = 4m - 5y$.
Применим эту формулу:
$(2x + 3n)^2 - (4m - 5y)^2$
Теперь возведем в квадрат каждую скобку, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$(2x + 3n)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (3n) + (3n)^2 = 4x^2 + 12xn + 9n^2$
$(4m - 5y)^2 = (4m)^2 - 2 \cdot (4m) \cdot (5y) + (5y)^2 = 16m^2 - 40my + 25y^2$
Подставим результаты в наше выражение:
$(4x^2 + 12xn + 9n^2) - (16m^2 - 40my + 25y^2)$
Раскроем скобки, меняя знаки во втором многочлене на противоположные:
$4x^2 + 12xn + 9n^2 - 16m^2 + 40my - 25y^2$
Приведем многочлен к стандартному виду, упорядочив члены:
$4x^2 - 25y^2 - 16m^2 + 9n^2 + 40my + 12xn$
Ответ: $4x^2 - 25y^2 - 16m^2 + 9n^2 + 40my + 12xn$

б) Рассмотрим выражение $(x + 3y - 2x^2 - 5y^3)(x - 3y + 2x^2 - 5y^3)$.
Как и в предыдущем примере, сгруппируем слагаемые, чтобы использовать формулу сокращенного умножения.
Сгруппируем члены с одинаковыми знаками и с противоположными знаками:
Первая скобка: $(x - 5y^3) + (3y - 2x^2)$
Вторая скобка: $(x - 5y^3) - (3y - 2x^2)$
Выражение принимает вид разности квадратов:
$((x - 5y^3) + (3y - 2x^2)) \cdot ((x - 5y^3) - (3y - 2x^2))$
Здесь $a = x - 5y^3$ и $b = 3y - 2x^2$. Применяем формулу $a^2 - b^2$:
$(x - 5y^3)^2 - (3y - 2x^2)^2$
Теперь раскроем каждый квадрат, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x - 5y^3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (5y^3) + (5y^3)^2 = x^2 - 10xy^3 + 25y^6$
$(3y - 2x^2)^2 = (3y)^2 - 2 \cdot (3y) \cdot (2x^2) + (2x^2)^2 = 9y^2 - 12x^2y + 4x^4$
Подставим полученные выражения:
$(x^2 - 10xy^3 + 25y^6) - (9y^2 - 12x^2y + 4x^4)$
Раскроем скобки:
$x^2 - 10xy^3 + 25y^6 - 9y^2 + 12x^2y - 4x^4$
Запишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней переменной $x$:
$-4x^4 + 12x^2y + x^2 - 10xy^3 + 25y^6 - 9y^2$
Ответ: $-4x^4 + 12x^2y + x^2 - 10xy^3 + 25y^6 - 9y^2$