Номер 12.48, страница 55 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.48*. Докажите, что выражение является квадратом трехчлена:

а) $(x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a)+a^4$;

б) $(x-b)(x-2b)(x-3b)(x-4b)+b^4$.

а)

Рассмотрим выражение $(x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a) + a^4$.
Чтобы упростить его, сгруппируем множители. Перемножим первый множитель с четвертым, а второй с третьим. Это удобно, так как суммы свободных членов в этих парах равны: $a+4a = 5a$ и $2a+3a = 5a$.
$[(x+a)(x+4a)] \cdot [(x+2a)(x+3a)] + a^4$
Выполним умножение в каждой группе:

$(x+a)(x+4a) = x^2 + 4ax + ax + 4a^2 = x^2 + 5ax + 4a^2$

$(x+2a)(x+3a) = x^2 + 3ax + 2ax + 6a^2 = x^2 + 5ax + 6a^2$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное:

$(x^2 + 5ax + 4a^2)(x^2 + 5ax + 6a^2) + a^4$

Чтобы упростить дальнейшие вычисления, введем замену. Пусть $y = x^2 + 5ax$. Тогда выражение примет вид:

$(y + 4a^2)(y + 6a^2) + a^4$

Раскроем скобки:

$y^2 + 6a^2y + 4a^2y + (4a^2)(6a^2) + a^4 = y^2 + 10a^2y + 24a^4 + a^4 = y^2 + 10a^2y + 25a^4$

Полученное выражение является полным квадратом, так как соответствует формуле $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$, где $A=y$ и $B=5a^2$.

$y^2 + 10a^2y + 25a^4 = (y)^2 + 2 \cdot y \cdot (5a^2) + (5a^2)^2 = (y + 5a^2)^2$

Теперь выполним обратную замену, подставив $y = x^2 + 5ax$:

$(x^2 + 5ax + 5a^2)^2$

Таким образом, исходное выражение является квадратом трехчлена $x^2 + 5ax + 5a^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: $(x^2 + 5ax + 5a^2)^2$

б)

Рассмотрим выражение $(x-b)(x-2b)(x-3b)(x-4b) + b^4$.
Действуем аналогично пункту а). Сгруппируем первый множитель с четвертым, а второй с третьим, так как суммы свободных членов в парах равны: $(-b)+(-4b) = -5b$ и $(-2b)+(-3b) = -5b$.
$[(x-b)(x-4b)] \cdot [(x-2b)(x-3b)] + b^4$
Выполним умножение в каждой группе:

$(x-b)(x-4b) = x^2 - 4bx - bx + 4b^2 = x^2 - 5bx + 4b^2$

$(x-2b)(x-3b) = x^2 - 3bx - 2bx + 6b^2 = x^2 - 5bx + 6b^2$

Подставим полученные выражения обратно:

$(x^2 - 5bx + 4b^2)(x^2 - 5bx + 6b^2) + b^4$

Введем замену. Пусть $z = x^2 - 5bx$. Тогда выражение примет вид:

$(z + 4b^2)(z + 6b^2) + b^4$

Раскроем скобки:

$z^2 + 6b^2z + 4b^2z + (4b^2)(6b^2) + b^4 = z^2 + 10b^2z + 24b^4 + b^4 = z^2 + 10b^2z + 25b^4$

Полученное выражение является полным квадратом по формуле $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$, где $A=z$ и $B=5b^2$.

$z^2 + 10b^2z + 25b^4 = (z)^2 + 2 \cdot z \cdot (5b^2) + (5b^2)^2 = (z + 5b^2)^2$

Выполним обратную замену, подставив $z = x^2 - 5bx$:

$(x^2 - 5bx + 5b^2)^2$

Таким образом, исходное выражение является квадратом трехчлена $x^2 - 5bx + 5b^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: $(x^2 - 5bx + 5b^2)^2$