Номер 1.4, страница 6 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.4. Запишите число:

а) 10 000 в виде степени с основанием 100; 10;

б) 16 в виде степени с основанием 4; 2;

в) 625 в виде степени с основанием 25; 5;

г) $\frac{1}{81}$ в виде степени с основанием $\frac{1}{9}$; $\frac{1}{3}$.

а) Чтобы представить число 10 000 в виде степени с основанием 100, нужно найти такой показатель степени $x$, для которого выполняется равенство $100^x = 10\;000$. Так как $100 \cdot 100 = 10\;000$, то $x=2$. Следовательно, $10\;000 = 100^2$.
Чтобы представить число 10 000 в виде степени с основанием 10, нужно найти такой показатель степени $y$, для которого $10^y = 10\;000$. Так как $10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10\;000$, то $y=4$. Следовательно, $10\;000 = 10^4$.

Ответ: $100^2$; $10^4$.

б) Чтобы представить число 16 в виде степени с основанием 4, ищем показатель $x$ в равенстве $4^x = 16$. Поскольку $4^2 = 16$, искомое представление есть $4^2$.
Чтобы представить число 16 в виде степени с основанием 2, ищем показатель $y$ в равенстве $2^y = 16$. Поскольку $2^4 = 16$, искомое представление есть $2^4$.

Ответ: $4^2$; $2^4$.

в) Чтобы представить число 625 в виде степени с основанием 25, ищем показатель $x$ в равенстве $25^x = 625$. Поскольку $25^2 = 625$, искомое представление есть $25^2$.
Чтобы представить число 625 в виде степени с основанием 5, ищем показатель $y$ в равенстве $5^y = 625$. Поскольку $5^4 = 625$, искомое представление есть $5^4$.

Ответ: $25^2$; $5^4$.

г) Чтобы представить число $\frac{1}{81}$ в виде степени с основанием $\frac{1}{9}$, ищем показатель $x$ в равенстве $(\frac{1}{9})^x = \frac{1}{81}$. Используя свойство степени $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, получаем $\frac{1^x}{9^x} = \frac{1}{81}$, что эквивалентно $9^x = 81$. Отсюда $x=2$. Искомое представление: $(\frac{1}{9})^2$.
Чтобы представить число $\frac{1}{81}$ в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$, ищем показатель $y$ в равенстве $(\frac{1}{3})^y = \frac{1}{81}$. Это эквивалентно $3^y = 81$. Отсюда $y=4$. Искомое представление: $(\frac{1}{3})^4$.

Ответ: $(\frac{1}{9})^2$; $(\frac{1}{3})^4$.