Номер 29.10, страница 131 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.10. Функция задана формулой $y = 3x^2 + 2x - 5$.

а) Найдите значение функции при $x = -\frac{2}{3}$.

б) Найдите нули этой функции.

а) Найдите значение функции при $x = -\frac{2}{3}$.

Чтобы найти значение функции при заданном значении $x$, необходимо подставить это значение в формулу функции $y = 3x^2 + 2x - 5$.

Подставим $x = -\frac{2}{3}$:

$y = 3\left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 2\left(-\frac{2}{3}\right) - 5$

Выполним вычисления:

$y = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{4}{3} - 5 = \frac{12}{9} - \frac{4}{3} - 5$

Сократим первую дробь и приведем к общему знаменателю:

$y = \frac{4}{3} - \frac{4}{3} - 5 = 0 - 5 = -5$

Ответ: -5.

б) Найдите нули этой функции.

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули, нужно решить уравнение:

$3x^2 + 2x - 5 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=3$, $b=2$, $c=-5$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Корень из дискриминанта равен $\sqrt{64} = 8$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Таким образом, нулями данной функции являются $x=1$ и $x=-\frac{5}{3}$.

Ответ: $1; -\frac{5}{3}$.