Номер 29.13, страница 132 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.13. Найдите координаты вершины параболы и запишите уравнение ее оси симметрии:

а) $y = x^2 - 6x + 2;$

б) $y = 3x^2 + 12x;$

в) $y = -0,3x^2 + 6x - 5;$

г) $y = -x^2 + 8x - 9.$

а) Рассмотрим параболу $y = x^2 - 6x + 2$. Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$ с коэффициентами $a = 1$, $b = -6$, $c = 2$.
Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$ находятся по формуле для абсциссы $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Вычислим $x_0$:
$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.
Для нахождения ординаты $y_0$ подставим значение $x_0$ в уравнение параболы:
$y_0 = y(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 2 = 9 - 18 + 2 = -7$.
Таким образом, координаты вершины параболы: $(3; -7)$.
Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Ее уравнение имеет вид $x = x_0$.
Следовательно, уравнение оси симметрии: $x = 3$.
Ответ: координаты вершины $(3; -7)$, уравнение оси симметрии $x=3$.

б) Для параболы $y = 3x^2 + 12x$ коэффициенты: $a = 3$, $b = 12$.
Абсцисса вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot 3} = -\frac{12}{6} = -2$.
Ордината вершины:
$y_0 = 3(-2)^2 + 12(-2) = 3 \cdot 4 - 24 = 12 - 24 = -12$.
Координаты вершины: $(-2; -12)$.
Уравнение оси симметрии: $x = -2$.
Ответ: координаты вершины $(-2; -12)$, уравнение оси симметрии $x=-2$.

в) Для параболы $y = -0,3x^2 + 6x - 5$ коэффициенты: $a = -0,3$, $b = 6$.
Абсцисса вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-0,3)} = -\frac{6}{-0,6} = 10$.
Ордината вершины:
$y_0 = -0,3(10)^2 + 6(10) - 5 = -0,3 \cdot 100 + 60 - 5 = -30 + 60 - 5 = 25$.
Координаты вершины: $(10; 25)$.
Уравнение оси симметрии: $x = 10$.
Ответ: координаты вершины $(10; 25)$, уравнение оси симметрии $x=10$.

г) Для параболы $y = -x^2 + 8x - 9$ коэффициенты: $a = -1$, $b = 8$.
Абсцисса вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = -\frac{8}{-2} = 4$.
Ордината вершины:
$y_0 = -(4)^2 + 8(4) - 9 = -16 + 32 - 9 = 7$.
Координаты вершины: $(4; 7)$.
Уравнение оси симметрии: $x = 4$.
Ответ: координаты вершины $(4; 7)$, уравнение оси симметрии $x=4$.