Номер 29.19, страница 133 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.19. Найдите, если это возможно, нули квадратичной функции:

а) $y = (x - 7)(x + 2)$;

б) $y = x^2 - 5x + 7$;

в) $y = -(x + 3)^2 + 9$;

г) $y = -3x^2 + 5x$.

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули квадратичной функции, нужно приравнять ее к нулю и решить получившееся квадратное уравнение.

а) $y = (x - 7)(x + 2)$

Приравняем функцию к нулю:

$(x - 7)(x + 2) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Поэтому:

$x - 7 = 0$ или $x + 2 = 0$

Решая эти два простых уравнения, находим нули функции:

$x_1 = 7$

$x_2 = -2$

Ответ: -2; 7.

б) $y = x^2 - 5x + 7$

Приравняем функцию к нулю, чтобы найти ее нули:

$x^2 - 5x + 7 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-5$, $c=7$. Для его решения вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, у функции нет нулей.

Ответ: нулей нет.

в) $y = -(x + 3)^2 + 9$

Приравняем функцию к нулю:

$-(x + 3)^2 + 9 = 0$

Перенесем слагаемое с квадратом в правую часть:

$9 = (x + 3)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x + 3 = \pm \sqrt{9}$

$x + 3 = \pm 3$

Это приводит к двум случаям:

1) $x + 3 = 3 \implies x_1 = 3 - 3 = 0$

2) $x + 3 = -3 \implies x_2 = -3 - 3 = -6$

Ответ: -6; 0.

г) $y = -3x^2 + 5x$

Приравняем функцию к нулю:

$-3x^2 + 5x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(-3x + 5) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x = 0$ или $-3x + 5 = 0$

Решаем второе уравнение:

$-3x = -5$

$x = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3}$

Нули функции: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{5}{3}$.

Ответ: 0; $\frac{5}{3}$.