Номер 29.24, страница 134 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.24. Постройте график квадратичной функции и укажите ее множество значений:

а) $f(x) = x^2 - 8x$;

б) $f(x) = -x^2 + 4$;

в) $f(x) = 2x^2 - 6x + 7$;

г) $f(x) = -2x^2$.

а) $f(x) = x^2 - 8x$

Графиком данной квадратичной функции является парабола. Для ее построения и определения множества значений найдем ключевые параметры.

1. Коэффициент $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4$.
Ордината вершины: $y_0 = f(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 = 16 - 32 = -16$.
Вершина находится в точке $(4, -16)$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат для построения графика:
С осью Ox (при $y=0$): $x^2 - 8x = 0 \Rightarrow x(x-8)=0 \Rightarrow x_1=0, x_2=8$. Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(8, 0)$.
С осью Oy (при $x=0$): $f(0) = 0$. Точка пересечения: $(0, 0)$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функция принимает в своей вершине. Это значение равно $y_0 = -16$. Таким образом, функция принимает все значения от $-16$ включительно и выше.

Ответ: множество значений $E(f) = [-16; +\infty)$.

б) $f(x) = -x^2 + 4$

Графиком данной функции является парабола.

1. Коэффициент $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
Это частный случай функции вида $f(x) = ax^2 + c$, ее вершина всегда находится на оси Oy. Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.
Ордината вершины: $y_0 = f(0) = -0^2 + 4 = 4$.
Вершина находится в точке $(0, 4)$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат:
С осью Ox (при $y=0$): $-x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x_1=-2, x_2=2$. Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.
С осью Oy: точка пересечения совпадает с вершиной $(0, 4)$.
График можно построить, отметив вершину и точки пересечения с осями. Это парабола $y=-x^2$, сдвинутая на 4 единицы вверх.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функция принимает в своей вершине. Это значение равно $y_0 = 4$. Таким образом, функция принимает все значения от $4$ включительно и ниже.

Ответ: множество значений $E(f) = (-\infty; 4]$.

в) $f(x) = 2x^2 - 6x + 7$

Графиком данной функции является парабола.

1. Коэффициент $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1,5$.
Ордината вершины: $y_0 = f(1,5) = 2 \cdot (1,5)^2 - 6 \cdot 1,5 + 7 = 2 \cdot 2,25 - 9 + 7 = 4,5 - 9 + 7 = 2,5$.
Вершина находится в точке $(1,5; 2,5)$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат:
С осью Oy (при $x=0$): $f(0) = 7$. Точка пересечения: $(0, 7)$.
С осью Ox (при $y=0$): решим уравнение $2x^2 - 6x + 7 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 36 - 56 = -20$. Так как $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функция принимает в своей вершине. Это значение равно $y_0 = 2,5$. Таким образом, функция принимает все значения от $2,5$ включительно и выше.

Ответ: множество значений $E(f) = [2,5; +\infty)$.

г) $f(x) = -2x^2$

Графиком данной функции является парабола.

1. Коэффициент $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
Это частный случай функции вида $f(x) = ax^2$, ее вершина всегда находится в начале координат.
Вершина находится в точке $(0, 0)$.

3. Точка пересечения с осями Ox и Oy совпадает с вершиной $(0, 0)$. Для построения графика можно найти несколько дополнительных точек, например, $(1, -2)$ и $(-1, -2)$, $(2, -8)$ и $(-2, -8)$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функция принимает в своей вершине. Это значение равно $y_0 = 0$. Таким образом, функция принимает все значения от $0$ включительно и ниже.

Ответ: множество значений $E(f) = (-\infty; 0]$.