Номер 29.31, страница 135 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.31. Постройте график функции $y = (x + 2)^2 - 1$ и найдите:

а) наименьшее значение функции;

б) значения аргумента, при которых значение функции равно 8;

в) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения;

г) промежутки возрастания функции.

Для решения задачи построим график функции $y = (x + 2)^2 - 1$ и проанализируем его.

График данной функции — это парабола, полученная из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем следующих преобразований:

• Сдвиг на 2 единицы влево по оси Ox.
• Сдвиг на 1 единицу вниз по оси Oy.

Вершина параболы находится в точке с координатами $(-2; -1)$. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

а) наименьшее значение функции

Поскольку ветви параболы направлены вверх, свое наименьшее значение функция принимает в вершине. Ордината (координата $y$) вершины параболы равна $-1$.
Также это можно определить аналитически: выражение $(x+2)^2$ всегда больше или равно нулю. Следовательно, наименьшее значение всего выражения $(x+2)^2 - 1$ достигается, когда $(x+2)^2=0$, и равно $0 - 1 = -1$.

Ответ: $-1$.

б) значения аргумента, при которых значение функции равно 8

Для нахождения этих значений необходимо решить уравнение $y=8$:

$(x + 2)^2 - 1 = 8$

$(x + 2)^2 = 9$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:

1) $x + 2 = 3 \Rightarrow x = 1$

2) $x + 2 = -3 \Rightarrow x = -5$

Ответ: при $x = -5$ и $x = 1$.

в) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения

Для нахождения этих значений необходимо решить неравенство $y < 0$:

$(x + 2)^2 - 1 < 0$

$(x + 2)^2 < 1$

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-1 < x + 2 < 1$

Вычтем 2 из всех частей неравенства:

$-1 - 2 < x < 1 - 2$

$-3 < x < -1$

Ответ: $x \in (-3; -1)$.

г) промежутки возрастания функции

Квадратичная функция с ветвями вверх убывает до своей вершины и возрастает после нее. Абсцисса (координата $x$) вершины равна $-2$. Следовательно, функция возрастает на промежутке от $-2$ до $+\infty$.

Ответ: $[-2; +\infty)$.