Номер 29.30, страница 135 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.30. Постройте график функции $y = x^2 - 2x - 3$ и найдите:

а) наименьшее значение функции;

б) значения аргумента, при которых значение функции равно 5;

в) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения;

г) промежутки убывания функции.

Для решения задачи сначала построим график функции $y = x^2 - 2x - 3$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Определение основных параметров параболы.
Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение вершины параболы.
Координаты вершины $(x_v, y_v)$ находятся по формулам:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
$y_v = (1)^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(1, -4)$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.
- Пересечение с осью OY (при $x=0$): $y = 0^2 - 2(0) - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
- Пересечение с осью OX (при $y=0$): $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Точки $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Построение графика.
На координатной плоскости отмечаем вершину $(1, -4)$ и точки пересечения с осями $(0, -3)$, $(-1, 0)$, $(3, 0)$. Для большей точности можно найти симметричную точке $(0,-3)$ точку относительно оси симметрии $x=1$ — это будет точка $(2, -3)$. Соединяя эти точки плавной линией, получаем график параболы.

Теперь, используя полученный график и свойства функции, ответим на вопросы.

а) наименьшее значение функции
Так как ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функция принимает в своей вершине. Ордината вершины равна $-4$.
Ответ: $-4$.

б) значения аргумента, при которых значение функции равно 5
Необходимо решить уравнение $x^2 - 2x - 3 = 5$.
$x^2 - 2x - 8 = 0$.
По теореме, обратной теореме Виета, находим корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -2$.
Ответ: $-2; 4$.

в) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения
Необходимо решить неравенство $x^2 - 2x - 3 > 0$.
Нули функции (точки пересечения с осью OX) — $x = -1$ и $x = 3$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция принимает положительные значения на интервалах вне корней.
Ответ: $(-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

г) промежутки убывания функции
Парабола с ветвями, направленными вверх, убывает на луче слева от своей вершины. Абсцисса вершины $x_v = 1$. Следовательно, функция убывает на промежутке, где $x \le 1$.
Ответ: $(-\infty; 1]$.