Номер 29.25, страница 134 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.25. Постройте график квадратичной функции:

а) $y=(x+3)^2-1;$

б) $y=-2(x-5)^2+8;$

в) $y=(x-7)(x+3);$

г) $y=-\frac{1}{2}(x+5)(x-1).$

а) Для построения графика квадратичной функции $y = (x + 3)^2 - 1$ определим её ключевые характеристики. Это парабола, уравнение которой дано в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$.
Направление ветвей: коэффициент $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Вершина параболы: координаты вершины $(h; k)$. Из уравнения находим, что вершина находится в точке $(-3; -1)$.
Ось симметрии: вертикальная прямая, проходящая через вершину, $x = -3$.
Точки пересечения с осями координат:
- С осью OX (при $y=0$): $(x + 3)^2 - 1 = 0 \implies (x + 3)^2 = 1 \implies x + 3 = \pm 1$. Корни $x_1 = -2$ и $x_2 = -4$. Точки пересечения: $(-2; 0)$ и $(-4; 0)$.
- С осью OY (при $x=0$): $y = (0 + 3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$. Точка пересечения: $(0; 8)$.
Для построения графика отмечаем на координатной плоскости вершину, точки пересечения с осями и проводим через них плавную кривую, симметричную относительно оси $x = -3$.
Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-3; -1)$, ветвями, направленными вверх. Пересекает ось OX в точках $(-4; 0)$ и $(-2; 0)$, а ось OY в точке $(0; 8)$.

б) Для построения графика функции $y = -2(x - 5)^2 + 8$ найдем её основные параметры. Это парабола в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$.
Направление ветвей: коэффициент $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Вершина параболы: координаты вершины $(h; k) = (5; 8)$.
Ось симметрии: прямая $x = 5$.
Точки пересечения с осями координат:
- С осью OX (при $y=0$): $-2(x - 5)^2 + 8 = 0 \implies 2(x - 5)^2 = 8 \implies (x - 5)^2 = 4 \implies x - 5 = \pm 2$. Корни $x_1 = 7$ и $x_2 = 3$. Точки пересечения: $(3; 0)$ и $(7; 0)$.
- С осью OY (при $x=0$): $y = -2(0 - 5)^2 + 8 = -2(25) + 8 = -42$. Точка пересечения: $(0; -42)$.
Отмечаем на плоскости вершину $(5; 8)$ и точки пересечения с осями, затем строим параболу, ветви которой направлены вниз.
Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(5; 8)$, ветвями, направленными вниз. Пересекает ось OX в точках $(3; 0)$ и $(7; 0)$, а ось OY в точке $(0; -42)$.

в) Для построения графика функции $y = (x - 7)(x + 3)$ проанализируем её уравнение. Это парабола, заданная уравнением в виде произведения множителей $y = a(x - x_1)(x - x_2)$.
Точки пересечения с осью OX: Корни уравнения $(x - 7)(x + 3) = 0$ равны $x_1 = 7$ и $x_2 = -3$. Это абсциссы точек пересечения с осью OX. Точки: $(7; 0)$ и $(-3; 0)$.
Направление ветвей: Раскрыв скобки, $y = x^2 - 4x - 21$, видим, что коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви направлены вверх.
Вершина параболы: Абсцисса вершины находится посередине между корнями: $x_v = \frac{7 + (-3)}{2} = 2$. Для нахождения ординаты подставляем $x_v$ в уравнение: $y_v = (2 - 7)(2 + 3) = (-5)(5) = -25$. Вершина в точке $(2; -25)$.
Ось симметрии: прямая $x = 2$.
Точка пересечения с осью OY: при $x=0$, $y = (0 - 7)(0 + 3) = -21$. Точка: $(0; -21)$.
Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(2; -25)$, ветвями, направленными вверх. Пересекает ось OX в точках $(-3; 0)$ и $(7; 0)$, а ось OY в точке $(0; -21)$.

г) Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}(x + 5)(x - 1)$ определим её характеристики. Уравнение задано в форме $y = a(x - x_1)(x - x_2)$.
Точки пересечения с осью OX: Корни уравнения $-\frac{1}{2}(x + 5)(x - 1) = 0$ равны $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$. Точки пересечения: $(-5; 0)$ и $(1; 0)$.
Направление ветвей: Коэффициент $a = -\frac{1}{2}$. Так как $a < 0$, ветви направлены вниз.
Вершина параболы: Абсцисса вершины: $x_v = \frac{-5 + 1}{2} = -2$. Ордината вершины: $y_v = -\frac{1}{2}(-2 + 5)(-2 - 1) = -\frac{1}{2}(3)(-3) = 4.5$. Вершина в точке $(-2; 4.5)$.
Ось симметрии: прямая $x = -2$.
Точка пересечения с осью OY: при $x=0$, $y = -\frac{1}{2}(0 + 5)(0 - 1) = 2.5$. Точка: $(0; 2.5)$.
Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-2; 4.5)$, ветвями, направленными вниз. Пересекает ось OX в точках $(-5; 0)$ и $(1; 0)$, а ось OY в точке $(0; 2.5)$.