Номер 29.18, страница 133 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.18. Определите координаты точек, в которых график функции пересекает оси координат:

а) $y = (x + 1)(x - 7);$

б) $y = -3x^2 + 7x - 4;$

В) $y = (x - 5)^2 - 9;$

Г) $y = -x^2 + 7.$

Для определения координат точек, в которых график функции пересекает оси координат, необходимо выполнить следующие действия:

• Пересечение с осью ординат (осью $Oy$): в точке пересечения координата $x$ всегда равна нулю. Необходимо подставить $x=0$ в уравнение функции и найти соответствующее значение $y$. Точка будет иметь координаты $(0; y)$.
• Пересечение с осью абсцисс (осью $Ox$): в точках пересечения координата $y$ всегда равна нулю. Необходимо подставить $y=0$ в уравнение функции и решить полученное уравнение относительно $x$. Точки будут иметь координаты $(x; 0)$.

а) $y = (x + 1)(x - 7)$

Пересечение с осью $Oy$ (осью ординат):

Подставляем $x = 0$ в уравнение функции:

$y = (0 + 1)(0 - 7) = 1 \cdot (-7) = -7$.

Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; -7)$.

Пересечение с осью $Ox$ (осью абсцисс):

Подставляем $y = 0$ в уравнение функции:

$(x + 1)(x - 7) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$

$x - 7 = 0 \Rightarrow x_2 = 7$

Координаты точек пересечения с осью $Ox$: $(-1; 0)$ и $(7; 0)$.

Ответ: $(0; -7)$, $(-1; 0)$, $(7; 0)$.

б) $y = -3x^2 + 7x - 4$

Пересечение с осью $Oy$ (осью ординат):

Подставляем $x = 0$ в уравнение функции:

$y = -3(0)^2 + 7(0) - 4 = -4$.

Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; -4)$.

Пересечение с осью $Ox$ (осью абсцисс):

Подставляем $y = 0$ в уравнение функции:

$-3x^2 + 7x - 4 = 0$.

Умножим уравнение на $-1$ для удобства: $3x^2 - 7x + 4 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Координаты точек пересечения с осью $Ox$: $(1; 0)$ и $(\frac{4}{3}; 0)$.

Ответ: $(0; -4)$, $(1; 0)$, $(\frac{4}{3}; 0)$.

в) $y = (x - 5)^2 - 9$

Пересечение с осью $Oy$ (осью ординат):

Подставляем $x = 0$ в уравнение функции:

$y = (0 - 5)^2 - 9 = (-5)^2 - 9 = 25 - 9 = 16$.

Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; 16)$.

Пересечение с осью $Ox$ (осью абсцисс):

Подставляем $y = 0$ в уравнение функции:

$(x - 5)^2 - 9 = 0$.

$(x - 5)^2 = 9$.

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x - 5 = 3$ или $x - 5 = -3$.

Решаем полученные линейные уравнения:

$x_1 = 5 + 3 = 8$.

$x_2 = 5 - 3 = 2$.

Координаты точек пересечения с осью $Ox$: $(2; 0)$ и $(8; 0)$.

Ответ: $(0; 16)$, $(2; 0)$, $(8; 0)$.

г) $y = -x^2 + 7$

Пересечение с осью $Oy$ (осью ординат):

Подставляем $x = 0$ в уравнение функции:

$y = -(0)^2 + 7 = 7$.

Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; 7)$.

Пересечение с осью $Ox$ (осью абсцисс):

Подставляем $y = 0$ в уравнение функции:

$-x^2 + 7 = 0$.

$x^2 = 7$.

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x_{1,2} = \pm\sqrt{7}$.

Координаты точек пересечения с осью $Ox$: $(-\sqrt{7}; 0)$ и $(\sqrt{7}; 0)$.

Ответ: $(0; 7)$, $(-\sqrt{7}; 0)$, $(\sqrt{7}; 0)$.