Номер 29.20, страница 133 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.20. Найдите нули функции $y = \frac{2\sqrt{3}}{3}x^2 - 3\sqrt{3}x + \frac{7\sqrt{3}}{3}$.

29.20.

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти их, необходимо приравнять данное выражение к нулю и решить полученное уравнение:

$\frac{2\sqrt{3}}{3}x^2 - 3\sqrt{3}x + \frac{7\sqrt{3}}{3} = 0$

Все члены уравнения содержат общий множитель $\sqrt{3}$. Поскольку $\sqrt{3} \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\sqrt{3}$, при этом корни уравнения не изменятся:

$\frac{2}{3}x^2 - 3x + \frac{7}{3} = 0$

Для удобства вычислений и избавления от дробей, умножим обе части уравнения на 3:

$3 \cdot \left( \frac{2}{3}x^2 - 3x + \frac{7}{3} \right) = 3 \cdot 0$

$2x^2 - 9x + 7 = 0$

Получили стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны $a=2$, $b=-9$, $c=7$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула для вычисления дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac$

Подставим наши значения:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25$

Так как дискриминант $D=25 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 5}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3.5$

$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Таким образом, нулями данной функции являются значения $x=1$ и $x=3.5$.

Ответ: $1; 3.5$.