Номер 29.16, страница 132 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.16. Найдите наименьшее (наибольшее) значение следующей функции:

а) $y = (x - 3)^2 + 5;$

б) $y = 3(x - 2)^2 - 7;$

в) $y = 3x^2 - 12x + 1;$

г) $y = -x^2 + 6x - 5;$

д) $y = (x + 2)(x - 4);$

е) $y = -4(x - 3)(x + 3).$

Для нахождения наименьшего или наибольшего значения квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ необходимо найти координаты ее вершины $(x_0, y_0)$.

• Если коэффициент $a > 0$, ветви параболы направлены вверх, и функция имеет наименьшее значение в вершине, равное $y_0$.
• Если коэффициент $a < 0$, ветви параболы направлены вниз, и функция имеет наибольшее значение в вершине, равное $y_0$.

Координаты вершины можно найти по формулам $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$ или путем выделения полного квадрата для приведения функции к виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$.

а) $y = (x - 3)^2 + 5$

Данная функция уже представлена в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$. Здесь $a = 1$, $x_0 = 3$, $y_0 = 5$. Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение. Наименьшее значение функции равно ординате вершины $y_0$. $y_{min} = 5$.

Ответ: наименьшее значение равно 5.

б) $y = 3(x - 2)^2 - 7$

Функция представлена в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$. Здесь $a = 3$, $x_0 = 2$, $y_0 = -7$. Поскольку $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх, и функция имеет наименьшее значение. Наименьшее значение равно $y_0 = -7$.

Ответ: наименьшее значение равно -7.

в) $y = 3x^2 - 12x + 1$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$. Коэффициент $a = 3 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх, и функция имеет наименьшее значение. Найдем абсциссу вершины по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$: $x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$. Чтобы найти наименьшее значение функции, подставим $x_0 = 2$ в ее уравнение: $y_{min} = 3(2)^2 - 12(2) + 1 = 3 \cdot 4 - 24 + 1 = 12 - 24 + 1 = -11$.

Ответ: наименьшее значение равно -11.

г) $y = -x^2 + 6x - 5$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$. Коэффициент $a = -1 < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз, и функция имеет наибольшее значение. Найдем абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$. Подставим $x_0 = 3$ в функцию, чтобы найти ее наибольшее значение: $y_{max} = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$.

Ответ: наибольшее значение равно 4.

д) $y = (x + 2)(x - 4)$

Сначала приведем функцию к стандартному виду, раскрыв скобки: $y = x^2 - 4x + 2x - 8 = x^2 - 2x - 8$. Коэффициент $a = 1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх, и функция имеет наименьшее значение. Абсцисса вершины может быть найдена как среднее арифметическое корней функции ($x_1 = -2$ и $x_2 = 4$): $x_0 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Найдем наименьшее значение, подставив $x_0 = 1$ в исходное (или преобразованное) уравнение: $y_{min} = (1 + 2)(1 - 4) = 3 \cdot (-3) = -9$.

Ответ: наименьшее значение равно -9.

е) $y = -4(x - 3)(x + 3)$

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $y = -4(x^2 - 3^2) = -4(x^2 - 9) = -4x^2 + 36$. Это квадратичная функция с коэффициентом $a = -4 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз, и функция имеет наибольшее значение. Данная функция является частным случаем функции $y = ax^2+c$, ее вершина находится на оси OY, то есть $x_0 = 0$. Найдем наибольшее значение, подставив $x_0 = 0$ в функцию: $y_{max} = -4(0)^2 + 36 = 36$.

Ответ: наибольшее значение равно 36.