Номер 29.23, страница 134 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.23. Постройте график квадратичной функции:

а) $y = x^2 + 2x - 8$;

б) $y = x^2 + 4x + 3$;

в) $y = -x^2 + 6x - 5$;

г) $y = -2x^2 - 10x - 12.

а) $y = x^2 + 2x - 8$

Это квадратичная функция, её график — парабола. Для её построения найдём ключевые точки и характеристики.

1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Координаты вершины. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
   $x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
   Для нахождения ординаты $y_0$ подставим $x_0$ в уравнение функции:
   $y_0 = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$.
   Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, -9)$.
3. Точки пересечения с осями координат.
   Пересечение с осью OY: $x=0 \implies y = 0^2 + 2 \cdot 0 - 8 = -8$. Точка $(0, -8)$.
   Пересечение с осью OX: $y=0 \implies x^2 + 2x - 8 = 0$.
   Найдём корни уравнения через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
   $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$.
   $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$.
   Точки пересечения с осью OX: $(-4, 0)$ и $(2, 0)$.
4. Дополнительные точки. Ось симметрии параболы — прямая $x = -1$. Точка, симметричная точке $(0, -8)$ относительно оси симметрии, имеет координаты $(-2, -8)$.

Используя эти точки (вершина, пересечения с осями и симметричные им), строим график.

Ответ: График функции $y = x^2 + 2x - 8$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(-1, -9)$. График пересекает ось OY в точке $(0, -8)$ и ось OX в точках $(-4, 0)$ и $(2, 0)$.

б) $y = x^2 + 4x + 3$

Это квадратичная функция, её график — парабола.

1. Направление ветвей. Коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Координаты вершины.
   $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
   $y_0 = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
   Вершина находится в точке $(-2, -1)$.
3. Точки пересечения с осями координат.
   Пересечение с осью OY: $x=0 \implies y = 0^2 + 4 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.
   Пересечение с осью OX: $y=0 \implies x^2 + 4x + 3 = 0$.
   По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.
   Точки пересечения с осью OX: $(-1, 0)$ и $(-3, 0)$.
4. Дополнительные точки. Ось симметрии — прямая $x = -2$. Точка, симметричная точке $(0, 3)$, имеет координаты $(-4, 3)$.

Ответ: График функции $y = x^2 + 4x + 3$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(-2, -1)$. График пересекает ось OY в точке $(0, 3)$ и ось OX в точках $(-1, 0)$ и $(-3, 0)$.

в) $y = -x^2 + 6x - 5$

Это квадратичная функция, её график — парабола.

1. Направление ветвей. Коэффициент $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Координаты вершины.
   $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$.
   $y_0 = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$.
   Вершина находится в точке $(3, 4)$.
3. Точки пересечения с осями координат.
   Пересечение с осью OY: $x=0 \implies y = -0^2 + 6 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка $(0, -5)$.
   Пересечение с осью OX: $y=0 \implies -x^2 + 6x - 5 = 0$, что равносильно $x^2 - 6x + 5 = 0$.
   По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.
   Точки пересечения с осью OX: $(1, 0)$ и $(5, 0)$.
4. Дополнительные точки. Ось симметрии — прямая $x = 3$. Точка, симметричная $(0, -5)$, имеет координаты $(6, -5)$. При $x=2$, $y = -4+12-5=3$, точка $(2,3)$. Симметричная ей точка - $(4,3)$.

Ответ: График функции $y = -x^2 + 6x - 5$ — это парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(3, 4)$. График пересекает ось OY в точке $(0, -5)$ и ось OX в точках $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

г) $y = -2x^2 - 10x - 12$

Это квадратичная функция, её график — парабола.

1. Направление ветвей. Коэффициент $a=-2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Координаты вершины.
   $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot (-2)} = \frac{10}{-4} = -2.5$.
   $y_0 = -2(-2.5)^2 - 10(-2.5) - 12 = -2(6.25) + 25 - 12 = -12.5 + 25 - 12 = 0.5$.
   Вершина находится в точке $(-2.5, 0.5)$.
3. Точки пересечения с осями координат.
   Пересечение с осью OY: $x=0 \implies y = -12$. Точка $(0, -12)$.
   Пересечение с осью OX: $y=0 \implies -2x^2 - 10x - 12 = 0$, что равносильно $x^2 + 5x + 6 = 0$.
   По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.
   Точки пересечения с осью OX: $(-2, 0)$ и $(-3, 0)$.
4. Дополнительные точки. Ось симметрии — прямая $x = -2.5$. Точка, симметричная $(0, -12)$, имеет координаты $(-5, -12)$. При $x=-1$, $y = -2+10-12=-4$, точка $(-1,-4)$. Симметричная ей точка - $(-4,-4)$.

Ответ: График функции $y = -2x^2 - 10x - 12$ — это парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(-2.5, 0.5)$. График пересекает ось OY в точке $(0, -12)$ и ось OX в точках $(-2, 0)$ и $(-3, 0)$.