Номер 29.39, страница 137 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.39. Функция задана формулой $y = x^2 - 6x + 9$. Укажите неверное утверждение:

а) графиком функции является парабола с вершиной в точке с абсциссой $x = 3$;

б) функция возрастает на промежутке $[3; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 3]$;

в) $y > 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$;

г) осью симметрии графика функции является прямая $x = 3$;

д) множеством значений функции является промежуток $[0; +\infty)$.

Для того чтобы найти неверное утверждение, проанализируем функцию $y = x^2 - 6x + 9$ и каждое из предложенных утверждений по отдельности.

Сначала преобразуем формулу функции, выделив полный квадрат:

$y = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x - 3)^2$.

Графиком данной функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Формула $y = (x - 3)^2$ показывает, что это график стандартной параболы $y = x^2$, смещенный на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

а) графиком функции является парабола с вершиной в точке с абсциссой x = 3;

Вершина параболы, заданной уравнением вида $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, находится в точке с координатами $(x_0, y_0)$. Для нашей функции $y = (x - 3)^2$ вершина имеет координаты $(3, 0)$. Абсцисса (координата $x$) этой точки равна 3. Следовательно, данное утверждение верно.

б) функция возрастает на промежутке $[3; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 3]$;

Поскольку ветви параболы направлены вверх, её вершина $(3, 0)$ является точкой минимума. Это означает, что до точки минимума (на промежутке $(-\infty; 3]$) функция убывает, а после точки минимума (на промежутке $[3; +\infty)$) — возрастает. Таким образом, утверждение верно.

в) $y > 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$;

Рассмотрим значения функции $y = (x - 3)^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом, то есть $(x - 3)^2 \ge 0$ для всех $x$. Значение функции равно нулю при $x = 3$, так как $y(3) = (3 - 3)^2 = 0$. Во всех остальных точках, где $x \neq 3$, значение функции будет строго положительным ($y > 0$). Утверждение, что $y > 0$ для всех $x$ из промежутка $(-\infty; +\infty)$, является неверным, поскольку оно не выполняется в точке $x = 3$.

г) осью симметрии графика функции является прямая $x = 3$;

Осью симметрии параболы является вертикальная прямая, которая проходит через её вершину. Уравнение такой прямой имеет вид $x = x_0$, где $x_0$ — это абсцисса вершины. Так как абсцисса вершины нашей параболы равна 3, то осью симметрии является прямая $x = 3$. Утверждение верно.

д) множеством значений функции является промежуток $[0; +\infty)$.

Наименьшее значение функции достигается в её вершине и равно $y_{min} = y(3) = 0$. Поскольку ветви параболы направлены вверх и уходят в бесконечность, функция принимает все значения, которые больше или равны нулю. Следовательно, множество значений (область значений) функции — это промежуток $[0; +\infty)$. Утверждение верно.

Проанализировав все утверждения, мы установили, что неверным является утверждение в).

Ответ: в)