Номер 29.46, страница 137 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.46*. Графики функций $y = ax^2$ и $y = 0,5x + 1$ пересекаются в точке (2; 2). Найдите координаты второй точки пересечения этих графиков.

По условию, графики функций $y = ax^2$ и $y = 0,5x + 1$ пересекаются в точке $(2; 2)$. Это означает, что координаты данной точки удовлетворяют обоим уравнениям.

1. Найдём значение коэффициента a.

Подставим координаты точки $(2; 2)$ в уравнение параболы $y = ax^2$:
$2 = a \cdot (2)^2$
$2 = a \cdot 4$
$a = \frac{2}{4}$
$a = 0,5$

Таким образом, уравнение параболы имеет вид $y = 0,5x^2$.

2. Найдём координаты второй точки пересечения.

Чтобы найти все точки пересечения графиков, необходимо решить систему уравнений:
$\begin{cases} y = 0,5x^2 \\ y = 0,5x + 1 \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы ($x$) точек пересечения:
$0,5x^2 = 0,5x + 1$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$0,5x^2 - 0,5x - 1 = 0$

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 2:
$x^2 - x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -2$. Мы знаем, что один из корней равен абсциссе данной точки пересечения, то есть $x_1 = 2$.
Подставим известное значение в уравнение для произведения корней:
$2 \cdot x_2 = -2$
$x_2 = -1$
Это абсцисса второй точки пересечения.

3. Найдём ординату второй точки пересечения.

Теперь найдём соответствующую ординату ($y$), подставив значение $x_2 = -1$ в любое из исходных уравнений. Проще всего использовать уравнение прямой $y = 0,5x + 1$:
$y = 0,5 \cdot (-1) + 1$
$y = -0,5 + 1$
$y = 0,5$

Следовательно, вторая точка пересечения имеет координаты $(-1; 0,5)$.

Ответ: $(-1; 0,5)$.