Номер 29.49, страница 138 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

29.49*. Периметр прямоугольного участка равен 80 м. Какими должны быть его размеры, чтобы площадь участка была наибольшей?

Пусть стороны прямоугольного участка равны $a$ и $b$ метров.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. По условию задачи, периметр равен 80 м, следовательно:

$2(a + b) = 80$

$a + b = 40$

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон: $S = a \cdot b$. Нам нужно найти размеры $a$ и $b$, при которых площадь $S$ будет наибольшей.

Для этого выразим одну переменную через другую из уравнения периметра. Например, выразим $b$ через $a$:

$b = 40 - a$

Теперь подставим это выражение в формулу площади, чтобы получить зависимость площади от одной переменной $a$:

$S(a) = a \cdot (40 - a)$

$S(a) = 40a - a^2$

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = -a^2 + 40a$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $a^2$ отрицательный (равен -1). Максимальное значение такой функции достигается в её вершине.

Координата вершины параболы $y = kx^2 + lx + m$ находится по формуле $x_0 = -\frac{l}{2k}$. В нашем случае переменная — это $a$, а коэффициенты: $k = -1$, $l = 40$.

Найдем значение $a$, при котором площадь максимальна:

$a_0 = -\frac{40}{2 \cdot (-1)} = -\frac{40}{-2} = 20$

Таким образом, одна из сторон прямоугольника должна быть равна 20 м. Теперь найдем вторую сторону $b$:

$b = 40 - a = 40 - 20 = 20$ м.

Получается, что для достижения максимальной площади при заданном периметре, участок должен быть квадратом со стороной 20 м.

Ответ: размеры участка должны быть 20 м на 20 м.